자연계열 2번

제시문 2

사면체를 평행이동하여도 정사영의 넓이는 변하지 않으므로, 음의 $\displaystyle x$방향으로 사면체를 1만큼 평행이동하여 정사영의 넓이를 구하면 된다. 따라서 사면체의 꼭짓점을 $\displaystyle A(0,0,0),\ B(4,0,0),C(0,2,0),D(2,1,2)$이라 생각해도 무방하다.

평면 $\displaystyle z=mx$에 내린 점 $\displaystyle A,B,C,D$의 정사영을 $\displaystyle A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime},D^{\prime}$이라 하면, 점 $\displaystyle A,C$는 평면 $\displaystyle z=mx$ 위에 있으므로 $\displaystyle A^{\prime}=A$, $\displaystyle C^{\prime}=C$이다. 평면 $\displaystyle z=mx$의 법선벡터가 $\displaystyle (m,0,-1)$이므로 점 $\displaystyle B^{\prime}$은 직선 $\displaystyle (4,0,0)+t(m,0,-1)$ (또는 $\displaystyle \frac{x-4}{m}=\frac{z-0}{-1}\ y=0$) 위에 있고, 점 $\displaystyle D^{\prime}$은 직선 $\displaystyle (2,1,2)+t(m,0,-1)$ (또는 $\displaystyle \frac{x-2}{m}=\frac{z-2}{-1}\ y=1$)위에 있다. 이 직선들과 평면 $\displaystyle z=mx$의 교점을 구하면 $\displaystyle B^{\prime}\left(\frac4{m^2+1},0,\frac{4m}{m^2+1}\right)$, $\displaystyle D^{\prime}\left(\frac{2m+2}{m^2+1},1,\frac{2m^2+2m}{m^2+1}\right)$이다.

[문제 2-1]

$\displaystyle m=1$일 때, $\displaystyle B^{\prime}=(2,0,2),D^{\prime}=(2,1,2)$이므로 평면 $\displaystyle z=x$위에 점 $\displaystyle A,B^{\prime},C,D^{\prime}$을 그려보면 다음과 같다.

따라서 사면체 $\displaystyle ABCD$의 정사영은 사각형 $\displaystyle ACD^{\prime}B^{\prime}$이다. $\displaystyle \overline{AB^{\prime}}=2\sqrt2$, $\displaystyle \overline{AC}=2$, $\displaystyle \overline{B^{\prime}D^{\prime}}=1$이므로 이 사각형의 넓이는 $\displaystyle 3\sqrt2$이다.

[문제 2-2]

(i) $\displaystyle -1\le m\le0$이면 $\displaystyle B^{\prime}$과 $\displaystyle D^{\prime}$ 모두 $\displaystyle x$좌표가 0이상, $\displaystyle z$좌표가 0이하이다. 선분 $\displaystyle AC$의 중점을 $\displaystyle M$이라 할 때, $\displaystyle \overline{AB^{\prime}}=\frac4{\sqrt{m^2+1}}$, $\displaystyle \overline{MD^{\prime}}=\frac{2(m+1)}{\sqrt{m^2+1}}$ 이므로 $\displaystyle \overline{MD^{\prime}}\le\frac12\overline{AB^{\prime}}$이다.

따라서 점 $\displaystyle D^{\prime}$이 삼각형 $\displaystyle AB^{\prime}C$의 내부 또는 경계에 있다. 이로부터 사면체 $\displaystyle ABCD$의 평면 $\displaystyle z=mx$로의 정사영은 삼각형 $\displaystyle AB^{\prime}C$임을 알 수 있다. 삼각형 $\displaystyle AB^{\prime}C$의 넓이는 $\displaystyle \frac4{\sqrt{m^2+1}}$이다. 함수 $\displaystyle f(m)=\frac4{\sqrt{m^2+1}}$이 $\displaystyle -1\le m\le0$에서 증가함수이므로 이 경우 정사영 넓이의 최댓값은 4이다.

(ii) $\displaystyle m<-1$이면 $\displaystyle B^{\prime}$의 $\displaystyle x$-좌표가 0보다 크고, $\displaystyle z$-좌표가 0보다 작으며 $\displaystyle D^{\prime}$의 $\displaystyle x$-좌표는 0보다 작고, $\displaystyle z$-좌표는 0보다 크다. 따라서 사면체 $\displaystyle ABCD$의 평면 $\displaystyle z=mx$로의 정사영은 아래 그림의 사각형 $\displaystyle AB^{\prime}CD^{\prime}$이다.

그 넓이는 $\displaystyle \frac4{\sqrt{m^2+1}}+\frac{2(m+1)}{\sqrt{m^2+1}}$이다.Comment. $\displaystyle m<-1$에서는 선분의 길이가 $\displaystyle \overline{MD^{\prime}}=-\frac{2(m+1)}{\sqrt{m^2+1}}$이다. 따라서 넓이는 $\displaystyle f(m)=\frac{2-2m}{\sqrt{m^2+1}}$으로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

함수 $\displaystyle f(m)=\frac4{\sqrt{m^2+1}}+\frac{2(m+1)}{\sqrt{m^2+1}}$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(m)=\frac{2-6m}{(1+m^2)\sqrt{1+m^2}}$가 $\displaystyle m<-1$에서 항상 0보다 크므로 $\displaystyle f$는 증가함수이다.

그러므로 $\displaystyle f(m)<f(-1)=2\sqrt2$이다.

(i), (ii) 로부터 $\displaystyle f(m)$의 최대값은 4 이다.

채점 기준

[문제 2-1]

제시된 풀이와 같이 평행이동을 이용하지 않고 계산을 하여도 풀이는 가능하다. 다만, 제시된 풀이에서와 같이 평행이동을 이용하면 계산이 간단해 진다. 정사영이 사각형이 됨을 보이면 부분 점수를 받을 수 있다. 사면체의 꼭지점의 정사영을 올바르게 계산해도 부분 점수를 받을 수 있다.

[문제 2-2]

$\displaystyle m$의 값에 따라서 정사영이 삼각형이 되거나 사각형이 됨을 밝히면 부분 점수를 받을 수 있다. 제시된 풀이와는 다른, 다양한 풀이가 가능하지만 올바른 추론을 통하여 $\displaystyle m=0$일 때의 정사영의 넓이가 최대값 임을 보이면 좋은 점수를 기대할 수 있다.