수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

인문사회계 Ⅱ 2번

건국대 2019학년도 수시 인문사회계 Ⅱ 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2019su/inmun2_2

이전 문제
배점60점
예상 소요 시간미공개

문제

🔒
짧은 시간에 너무 많은 문제를 여셔서 열람을 잠시 제한했습니다. 잠시 후 다시 시도하시거나 로그인해 주세요.
해설강의 준비중

건국대 2019학년도 수시 인문사회계 Ⅱ 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2019su/inmun2_2

[문제 2-1]

두 재화 A,B\displaystyle A,B의 가격이 PA=50−QA, PB=100−QB\displaystyle P_A=50-Q_A,\ P_B=100-Q_B로 주어져 있다. A\displaystyle A의 구매량을 x\displaystyle x, B\displaystyle B의 구매량을 y\displaystyle y라 하면, 총 구매액은 S=QA⋅PA+QB⋅PB=x(50−x)+y(100−y)\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B=x(50-x)+y(100-y)이다. 이를 계산하고 총 구매액이 3100\displaystyle 3100을 넘어갈 수 없다는 조건을 적용하면,

S=−[x2−50x+252+y2−100y+502]+(252+502)=−[(x−25)2+(y−50)2]+(625+2500)≤3100\displaystyle S=-[x^2-50x+25^2+y^2-100y+50^2]+(25^2+50^2)=-[(x-25)^2+(y-50)^2]+(625+2500)\le3100

이므로, (x−25)2+(y−50)2≥25=52\displaystyle (x-25)^2+(y-50)^2\ge25=5^2가 만족된다. 또한 총 구매량이 3076\displaystyle 3076보다 작지 않아야 하므로, S=−[(x−25)2+(y−50)2]+(625+2500)≥3076\displaystyle S=-[(x-25)^2+(y-50)^2]+(625+2500)\ge3076 이므로, (x−25)2+(y−50)2≤49=72\displaystyle (x-25)^2+(y-50)^2\le49=7^2가 만족된다. 구매량 x,y\displaystyle x,y 및 주어진 가격이 양수이거나 0이어야 하므로, x≥0,y≥0,50−x≥0,100−y≥0\displaystyle x\ge0,y\ge0,50-x\ge0,100-y\ge0을 만족한다. 따라서 주어진 조건을 만족하기 위한 x,y\displaystyle x,y의 범위는

0≤x≤50, 0≤y≤100, 52≤(x−25)2+(y−50)2≤72\displaystyle 0\le x\le50,\ 0\le y\le100,\ 5^2\le(x-25)^2+(y-50)^2\le7^2

이러한 제약을 만족시키는 조합의 개수는 (1사분면 내부점)*4+(축위의 점)*4= (2+2+3+3+4+3)⋅4+3⋅4=68+12=80\displaystyle (2+2+3+3+4+3)\cdot4+3\cdot4=68+12=80. 따라서, 총 순서쌍 (x,y)=(QA,QB)\displaystyle (x,y)=(Q_A,Q_B)의 수는 80개이다.

[문제 2-2]

n=2000+n′\displaystyle n=2000+n^{\prime}이 되도록 n′\displaystyle n^{\prime}를 정의하자. r=0.99\displaystyle r=0.99라 하자.

(단위: 만명)

2000년 이후 연령별 인구분포를 나타낸 대학 답안의 표

Comment. 2000+t\displaystyle 2000+t년 말 k\displaystyle k세 인구는 (100−∣k−t∣)2\displaystyle (100-|k-t|)^2만 명이다 (0≤t,k≤99\displaystyle 0\le t,k\le99). 예를 들어 t=k=1\displaystyle t=k=1이면 1002\displaystyle 100^2만 명이므로, 일반행의 식에서 얻는 982\displaystyle 98^2만 명과 다르다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

두 문제 모두, 자연수의 거듭제급의 합인 다음의 식을 이용한다. (고등학교 수학 II 비상교육, p135)

∑k=1nk=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2\displaystyle \sum_{k=1}^n k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2

∑k=1nk2=12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6

∑k=1nk3=13+23+33+⋯+n3=(n(n+1)2)2\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2

아래 문제 (1) 풀이

(1) 2000년 말의 인구는 a=1002+992+982+⋯+12=∑k=1100k2=100(101)(201)6=338,350\displaystyle a=100^2+99^2+98^2+\cdots+1^2=\sum_{k=1}^{100}k^2=\frac{100(101)(201)}6=338,350이다.

2099년 말의 인구는 b=12+22+32+⋯+1002=∑k=1100k2=100(101)(201)6\displaystyle b=1^2+2^2+3^2+\cdots+100^2=\sum_{k=1}^{100}k^2=\frac{100(101)(201)}6이다. 따라서 b−a=0\displaystyle b-a=0이다.

아래 문제 (2) 풀이 #1

(2) 평균연령은 각연령대인구에 나이를 곱한 합을 전체의 인구로 나눈값이다. 2000년말의 평균연령은 c=S0/a\displaystyle c=S_0/a로 표현할 수 있는데

S2000=1002⋅0+992⋅1+982⋅2+⋯+22⋅98+12⋅99=∑k=1100k2(100−k)=100∑k=1100k2−∑k=1100k3=100100(101)(201)6−(100(101)2)2\displaystyle \begin{aligned}S_{2000}&=100^2\cdot0+99^2\cdot1+98^2\cdot2+\cdots+2^2\cdot98+1^2\cdot99\\&=\sum_{k=1}^{100}k^2(100-k)=100\sum_{k=1}^{100}k^2-\sum_{k=1}^{100}k^3\\&=100\frac{100(101)(201)}6-\left(\frac{100(101)}2\right)^2\end{aligned}

이다. 따라서, c=100∑k=1100k2−∑k=1100k3∑k=1100k2=100−∑k=1100k3∑k=1100k2=100−3(100)(101)2(201)≈24.62\displaystyle c=\frac{100\sum_{k=1}^{100}k^2-\sum_{k=1}^{100}k^3}{\sum_{k=1}^{100}k^2}=100-\frac{\sum_{k=1}^{100}k^3}{\sum_{k=1}^{100}k^2}=100-\frac{3(100)(101)}{2(201)}\approx24.62이다.

2099년말의 평균연령은 d=S2099/b\displaystyle d=S_{2099}/b로 표현할 수 있는데

S2099=12⋅0+22⋅1+32⋅2+⋯+992⋅98+1002⋅99=∑k=1100k2(k−1)=∑k=1100k3−∑k=1100k2=(100(101)2)2−100(101)(201)6\displaystyle \begin{aligned}S_{2099}&=1^2\cdot0+2^2\cdot1+3^2\cdot2+\cdots+99^2\cdot98+100^2\cdot99\\&=\sum_{k=1}^{100}k^2(k-1)=\sum_{k=1}^{100}k^3-\sum_{k=1}^{100}k^2\\&=\left(\frac{100(101)}2\right)^2-\frac{100(101)(201)}6\end{aligned}

이다. 따라서, d=∑k=1100k3−∑k=1100k2∑k=1100k2=∑k=1100k3∑k=1100k2−1=3(100)(101)2(201)−1≈74.37\displaystyle d=\frac{\sum_{k=1}^{100}k^3-\sum_{k=1}^{100}k^2}{\sum_{k=1}^{100}k^2}=\frac{\sum_{k=1}^{100}k^3}{\sum_{k=1}^{100}k^2}-1=\frac{3(100)(101)}{2(201)}-1\approx74.37이다. 따라서

d−c=∑k=1100k3∑k=1100k2−1−(100−∑k=1100k3∑k=1100k2)=23(100)(101)2(201)−101=150.7462−101=49.7462≈50\displaystyle d-c=\frac{\sum_{k=1}^{100}k^3}{\sum_{k=1}^{100}k^2}-1-\left(100-\frac{\sum_{k=1}^{100}k^3}{\sum_{k=1}^{100}k^2}\right)=2\frac{3(100)(101)}{2(201)}-101=150.7462-101=49.7462\approx50

[문제 2-3]

주어진 g(t)\displaystyle g(t)를 적분한 F(t)\displaystyle F(t)는 2년, 10년 등에 최소값을 가지고, 6년, 14년 등에 최대값을 가지는 2차 다항식으로 이뤄져있고, 주기가 8년인 주기함수 이다 (그림 참조).

주기가 8년인 g(t)와 그 적분 F(t)의 그래프

최저점에서의 F(2)\displaystyle F(2)의 값은 F(2)=∫02g(t) dt=∫02t2−1 dt=[t24−t]02=−1\displaystyle F(2)=\int_0^2g(t)\,dt=\int_0^2\frac t2-1\,dt=\Biggl[\frac{t^2}4-t\Biggr]_0^2=-1이고, 최대 정점에서의 F(6)\displaystyle F(6)값은 비슷한 방법으로 구하면 F(6)=∫06g(t) dt=∫04g(t) dt+∫46g(t) dt=0+1=1\displaystyle F(6)=\int_0^6g(t)\,dt=\int_0^4g(t)\,dt+\int_4^6g(t)\,dt=0+1=1이다.

따라서. 최초의 최저점 상황은 2년후에 찾아온다 (a=2\displaystyle a=2).

총수요곡선 Y=3−2(X−F(t))\displaystyle Y=3-2(X-F(t))과 총공급곡선 Y=X2\displaystyle Y=X^2이 만나는 점은 (X0,Y0)=(−1+4+2F(t),5−24+2F(t))\displaystyle (X_0,Y_0)=\left(-1+\sqrt{4+2F(t)},5-2\sqrt{4+2F(t)}\right)이다. (왜냐하면, X2=3−2(X−F(t))⇔X2+2X+1=3+2F(t)+1⇔X=−1+4+2F(t)\displaystyle X^2=3-2(X-F(t))\Leftrightarrow X^2+2X+1=3+2F(t)+1\Leftrightarrow X=-1+\sqrt{4+2F(t)}이다.)Correction. 점의 Y\displaystyle Y좌표 5−24+2F(t)\displaystyle 5-2\sqrt{4+2F(t)}에는 2F(t)\displaystyle 2F(t)가 빠져 있다. 바른 좌표는 5+2F(t)−24+2F(t)\displaystyle 5+2F(t)-2\sqrt{4+2F(t)}이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이때 최소실질 GDP 값은 b=−1+4+2F(t)=−1+4+2(−1)=−1+2=1.41−1=0.41\displaystyle b=-1+\sqrt{4+2F(t)}=-1+\sqrt{4+2(-1)}=-1+\sqrt2=1.41-1=0.41이다.

최초로 경기가 최정점을 오를 때는 6년 후이며 (c=6\displaystyle c=6), 이때 최대 실질 GDP값은

d=−1+4+2F(t)=−1+4+2(1)=−1+6=2.45−1=1.45\displaystyle d=-1+\sqrt{4+2F(t)}=-1+\sqrt{4+2(1)}=-1+\sqrt6=2.45-1=1.45

따라서 최종 답 c+d−a−b=6+1.45−2−0.41=5.04\displaystyle c+d-a-b=6+1.45-2-0.41=5.04 소수점 둘째자리에서 반올림하면 답은 5.0이다.

하위 문항채점 기준배점
문제 2-1A+: 실수 없이 정답을 얻었다. A: i) 총구매액(총구매액= S=QA⋅PA+QB⋅PB\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B)을 올바르게 표현하였다. ii) 부등식(52≤(x−25)2+(y−50)2≤72\displaystyle 5^2\le(x-25)^2+(y-50)^2\le7^2)을 올바르게 표현하였다. iii) 부등식을 두 원 사이의 영역으로 올바르게 표현하였다. 이후 계산을 진행하였으나 사소한 실수가 있었다. B+: i) 총구매액(총구매액= S=QA⋅PA+QB⋅PB\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B)을 올바르게 표현하였다. ii) 부등식(52≤(x−25)2+(y−50)2≤72\displaystyle 5^2\le(x-25)^2+(y-50)^2\le7^2)을 올바르게 표현하였다. iii) 부등식을 두 원 사이의 영역으로 올바르게 표현하였다. 이후 계산을 진행하였으나 사소하지 않은 실수가 있었다. B: i) 총구매액(총구매액= S=QA⋅PA+QB⋅PB\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B)을 올바르게 표현하였다. ii) 부등식(52≤(x−25)2+(y−50)2≤72\displaystyle 5^2\le(x-25)^2+(y-50)^2\le7^2)을 올바르게 표현하였다. iii) 부등식을 두 원 사이의 영역으로 올바르게 표현하였다. 그러나 이후 계산을 진행하지 못했다. C: i) 총구매액(총구매액= S=QA⋅PA+QB⋅PB\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B)을 올바르게 표현하였다. ii) 부등식(52≤(x−25)2+(y−50)2≤72\displaystyle 5^2\le(x-25)^2+(y-50)^2\le7^2)을 올바르게 표현하였다. 그러나 부등식을 원의 방정식으로 해석하지 못했고, 최종 계산 결과가 틀렸다. D: i) 총구매액(총구매액= S=QA⋅PA+QB⋅PB\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B)을 올바르게 표현하였다. ii) 부등식(52≤(x−25)2+(y−50)2≤72\displaystyle 5^2\le(x-25)^2+(y-50)^2\le7^2)을 올바르게 표현하였다. 그러나 이후 계산을 진행하지 못했다. E: i) 총구매액(총구매액= S=QA⋅PA+QB⋅PB\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B)을 올바르게 표현하였다. 그러나 이후 계산을 진행하지 못했다. F: 총구매액을 올바르게 표현하지 못했고, 최종 계산 결과가 틀렸다.
문제 2-2(2) A+: a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d의 계산식과 b−a\displaystyle b-a이 모두 맞고 d−c\displaystyle d-c의 값을 맞게 구했다. A: b−a\displaystyle b-a의 값을 맞게 구한 후, a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d의 계산식이 모두 맞았고, d−c\displaystyle d-c구하는 과정도 제대로 기술하고 계산도 했으나 단순 계산 오류로 인해 d−c\displaystyle d-c의 값을 제대로 구하지 못하였다. B+: b−a\displaystyle b-a의 값을 맞게 구한 후, c,d\displaystyle c,d 또는 d−c\displaystyle d-c의 값을 구하는 식이 모두 맞고 a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d일부는 맞게 계산을 했지만 다른 식들에 대해 계산을 못하였다. 또는 한 개의 식에 작은 오류가 있고(∑k=199\displaystyle \sum_{k=1}^{99}대신 ∑k=1100\displaystyle \sum_{k=1}^{100}로 하는 등의 오류) 계산을 모두 했으나 식의 오류로 인해 d−c\displaystyle d-c의 정답을 맞게 구하지 못함. B: b−a\displaystyle b-a의 값을 맞게 구한 후, c\displaystyle c와 d\displaystyle d의 값을 구하는 식을 모두 맞게 구했으나 그 뒤의 계산을 못 했거나, 둘 중 하나의 식을 맞게 구한 후 값도 제대로 구했으나 다른 값을 구하는 식이 틀림 C: b−a\displaystyle b-a의 값을 맞게 구하고, c\displaystyle c나 d\displaystyle d, 둘 중 하나의 값을 구하는 식을 맞게 구했다. (1) D: b−a\displaystyle b-a의 값을 맞게 구하였으나, c\displaystyle c나 d\displaystyle d의 값을 구하는 식을 전혀 유도하지 못하였다. E: a\displaystyle a또는b\displaystyle b의 계산식을 구했으나 b−a\displaystyle b-a의 값을 제대로 구하지 못하였다. F: a,b\displaystyle a,b 둘 중 하나의 계산식이나 값도 제대로 구하지 못하였다.20
문제 2-3A+: 맞는 a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d을 구하고, 최종답 c+d−a−b\displaystyle c+d-a-b을 구한다. A: 연립방정식을 이용하여, 맞는 a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d을 구하였으나, 최종답 c+d−a−b\displaystyle c+d-a-b을 구하지 못하였다. B+: 맞는 a,c\displaystyle a,c을 구하였으나, 연립방정식 Y=X2,Y=3−2(X−F(t))\displaystyle Y=X^2,Y=3-2(X-F(t))을 풀어 F(t)\displaystyle F(t)의 최소값 (b\displaystyle b) 혹은 최대값 (d\displaystyle d)을 잘못 계산하였다. B: 최대 최소 GDP를 계산하기 위해, 연립방정식 Y=X2,Y=3−2(X−F(t))\displaystyle Y=X^2,Y=3-2(X-F(t))을 올바르게 세팅하였다. C: 함수 F(t)\displaystyle F(t)의 성질을 이용하여 최대 및 최소가 되는 점들(a,c\displaystyle a,c)을 정확히 찾았다. D: 함수 g(s)\displaystyle g(s)를 이용하여 함수 F(t)\displaystyle F(t)의 그래프를 맞게 그리거나 기술하였으나, 함수 F(t)\displaystyle F(t)의 최대 및 최소가 되는 점을 잘못 찾았다. E: 함수 g(s)\displaystyle g(s)이나 함수 F(t)\displaystyle F(t)의 그래프를 제대로 이해하지 못한다. F: 출제 의도와 전혀 무관한 답안.25

Correction. 문제에서 b,d\displaystyle b,d는 F(t)\displaystyle F(t)가 최소·최대가 되는 시점의 실질 GDP이다. 따라서 채점기준의 “F(t)\displaystyle F(t)의 최소값 (b\displaystyle b) 혹은 최대값 (d\displaystyle d)”은 그 시점의 실질 GDP값을 뜻하는 것으로 읽어야 한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

※ 하위 문항이 있는 경우 칸을 나누어 채점 기준을 작성함.

※ 채점 기준은 문항의 출제의도에 대한 평가를 위한 것이어야 함.

이 문항 오류 제보

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.