건국대 2019학년도 수시 인문사회계 Ⅱ 2번 해설

다음을 읽고 물음에 답하시오.

[라]

소비 활동은 근로 소득, 재산 소득 등과 같이 가계가 벌어들이는 소득을 바탕으로 한다. 따라서 가계의 소비는 당연히 주어진 소득의 범위 내에서 이루어지게 된다.

-고등학교 『사회』

[마]

인구 구조는 어느 인구 집단의 연령별, 성별, 산업별 인구 구성 상태를 말하는 것으로, 국가 간 경제 수준에 따라 차이가 나타난다. 연령별 인구 구조에서는 유소년층 인구 비율이 대체로 선진국보다 개발 도상국에서 높게 나타난다. 이는 개발 도상국의 출생률이 선진국보다 높기 때문이다. 반면, 노년층 인구 비율은 선진국이 개발 도상국보다 높게 나타난다. 선진국은 개발 도상국에 비해 연령별 사망률이 낮고 평균 기대 수명이 길기 때문이다.

-고등학교 『세계지리』

[바]

경기는 상승과 하락을 반복한다. 저점은 경제가 하락기를 지나서 상승기로 전환되는 점으로 실질 GDP가 매우 낮은 시점이고, 반대로 정점은 상승기에서 하락기로 전환되는 실질 GDP가 매우 높은 시점이다. (중략)

한 재화의 생산량과 가격을 설명할 때 수요·공급 곡선으로 설명하는 것과 같이 한 나라 전체의 생산량과 물가의 변화를 총수요와 총공급 곡선의 변화로 설명할 수 있다. 총수요와 총공급의 변화는 국가 경제 전체의 생산량, 물가 그리고 실업과 같은 경제 변수를 변화시키고 호황과 불황의 원인이 되기도 한다.

-고등학교 『경제』

※ [문제 2-1] :[라] 에서 언급하는 “주어진 소득의 범위 내에서” 소비하는 상황을 다음과 같이 분석해 볼 수 있다. 두 재화 $\displaystyle A,B$ 의 가격을 각각 $\displaystyle P_A,P_B$ 라 하자. 가격은 구매량에 따라 달라지는데, 두 재화 $\displaystyle A,B$ 의 구매량을 각각 $\displaystyle Q_A,Q_B$ 라 하면 가격은 다음 식에 따라 정해진다.

$\displaystyle P_A=50-Q_A$ $\displaystyle P_B=100-Q_B$

총 구매액이 $\displaystyle 3100$ 을 넘지 않으면서 $\displaystyle 3076$ 보다 작지는 않도록 재화 $\displaystyle A,B$ 의 구매량을 정하려 한다. 단, 재화 $\displaystyle A,B$ 는 음이 아닌 정수 단위로만 구매할 수 있고, 재화 $\displaystyle A$ 는 $\displaystyle 49$ 단위, 재화 $\displaystyle B$ 는 $\displaystyle 99$ 단위까지만 구매할 수 있다. 이러한 조건을 모두 만족하는 $\displaystyle Q_A,Q_B$ 의 순서쌍 $\displaystyle (Q_A,Q_B)$ 의 개수를 구하시오. [15점]

※ [문제 2-2] :[마] 에서 설명한 개발 도상국의 전형적 인구 구조에서 선진국의 전형적 인구 구조로 전환하는 국가를 가정해 보자. 이 국가의 2000년 말 인구분포는 다음과 같다.

0세	$100^2$ 만 명
1세	$99^2$ 만 명
2세	$98^2$ 만 명
⋮	⋮
98세	$2^2$ 만 명
99세	1만 명

모든 사람은 99세까지 생존하고, $\displaystyle n$ 년에는 $\displaystyle (2100-n)^2$ 만 명이 태어난다. (즉 2001년 말 0세의 인구는 $\displaystyle 99^2$ 만 명이고 99세의 인구는 $\displaystyle 2^2$ 만 명이다.) $\displaystyle n$ 년 말 인구분포 표로부터 평균 연령을 계산할 수 있는데, 시간이 지나면서 평균 연령이 높아지는지 확인하고자 한다.

(1) 2000년 말의 총인구를 $\displaystyle a$ 라 하고, 2099년 말의 총인구를 $\displaystyle b$ 라 할 때, $\displaystyle b-a$ 의 값을 구하시오. [5점]

(2) 2000년 말의 평균 연령을 $\displaystyle c$ 라 하고, 2099년 말의 평균 연령을 $\displaystyle d$ 라 할 때, $\displaystyle d-c$ 의 값을 구하시오. (계산 결과는 소수점 아래 첫 번째 자리에서 반올림할 것.) [15점]

※ [문제 2-3] :[바] 에서 설명하듯이 총수요 곡선의 이동은 경기의 상승과 하락을 초래할 수 있는데, 아래 그림은 이 과정을 보여 준다. 그림에서 $\displaystyle AD_0,AD_1,AD_2$ 는 총수요 곡선을 나타내고 $\displaystyle AS$ 는 총공급 곡선을 나타낸다.

총공급 곡선이 $\displaystyle Y=X^2$ (단, $\displaystyle X\ge0$ )으로 고정되어 있고, $\displaystyle t$ 시점에서의 총수요 곡선은 $\displaystyle Y=3-2(X-F(t))$ 로 정해진다고 하자. 여기에서 함수 $\displaystyle F(t)$ 는 $\displaystyle 0$ 시점부터 $\displaystyle t$ 시점 (단, $\displaystyle t\ge0$ ) 사이에 누적된 정부 정책의 효과를 나타내는데, $\displaystyle s$ 시점의 효과를 나타내는 함수 $\displaystyle g(s)$ 의 적분값 $\displaystyle F(t)=\int_0^t g(s)\,ds$ 로 주어진다. 함수 $\displaystyle g(s)$ 는 다음과 같다.

$\displaystyle g(s)=\begin{cases}1-\frac12|s-4|,&(0\le s\le8)\\1-\frac12|s-12|,&(8<s\le16)\\1-\frac12|s-20|,&(16<s\le24)\\\vdots\end{cases}$

총공급 곡선과 총수요 곡선이 만나는 점에서 정해지는 실질 GDP $\displaystyle X$ 는 상승, 정점, 하락, 저점의 경기 순환 패턴을 만들어 낸다. 함수 $\displaystyle F(t)$ 역시 증가, 최대, 감소, 최소의 순환 패턴을 가진다. 함수 $\displaystyle F(t)$ 가 처음으로 최솟값을 가지는 시점을 $\displaystyle a$ 라 하고, 이때의 실질 GDP를 $\displaystyle b$ 라 하자. 함수 $\displaystyle F(t)$ 가 처음으로 최댓값을 가지는 시점을 $\displaystyle c$ 라 하고, 이때의 실질 GDP를 $\displaystyle d$ 라 하자. $\displaystyle c+d-a-b$ 의 값을 구하시오. ( $\displaystyle \sqrt2=1.41,\sqrt3=1.73,\sqrt5=2.24,\sqrt6=2.45$ 로 하고, 계산 결과는 소수점 아래 둘째 자리에서 반올림할 것.) [25점]

건국대 2019학년도 수시 인문사회계 Ⅱ 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2019su/inmun2_2

[문제 2-1]

두 재화 $\displaystyle A,B$ 의 가격이 $\displaystyle P_A=50-Q_A,\ P_B=100-Q_B$ 로 주어져 있다. $\displaystyle A$ 의 구매량을 $\displaystyle x$ , $\displaystyle B$ 의 구매량을 $\displaystyle y$ 라 하면, 총 구매액은 $\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B=x(50-x)+y(100-y)$ 이다. 이를 계산하고 총 구매액이 $\displaystyle 3100$ 을 넘어갈 수 없다는 조건을 적용하면,

$\displaystyle S=-[x^2-50x+25^2+y^2-100y+50^2]+(25^2+50^2)=-[(x-25)^2+(y-50)^2]+(625+2500)\le3100$

이므로, $\displaystyle (x-25)^2+(y-50)^2\ge25=5^2$ 가 만족된다. 또한 총 구매량이 $\displaystyle 3076$ 보다 작지 않아야 하므로, $\displaystyle S=-[(x-25)^2+(y-50)^2]+(625+2500)\ge3076$ 이므로, $\displaystyle (x-25)^2+(y-50)^2\le49=7^2$ 가 만족된다. 구매량 $\displaystyle x,y$ 및 주어진 가격이 양수이거나 0이어야 하므로, $\displaystyle x\ge0,y\ge0,50-x\ge0,100-y\ge0$ 을 만족한다. 따라서 주어진 조건을 만족하기 위한 $\displaystyle x,y$ 의 범위는

$\displaystyle 0\le x\le50,\ 0\le y\le100,\ 5^2\le(x-25)^2+(y-50)^2\le7^2$

이러한 제약을 만족시키는 조합의 개수는 (1사분면 내부점)*4+(축위의 점)*4= $\displaystyle (2+2+3+3+4+3)\cdot4+3\cdot4=68+12=80$ . 따라서, 총 순서쌍 $\displaystyle (x,y)=(Q_A,Q_B)$ 의 수는 80개이다.

[문제 2-2]

$\displaystyle n=2000+n^{\prime}$ 이 되도록 $\displaystyle n^{\prime}$ 를 정의하자. $\displaystyle r=0.99$ 라 하자.

(단위: 만명)

$n^{\prime}$ ＼ 나이	0	1	2	3	⋯	98	99
0	$100^2$	$99^2$	$98^2$	$97^2$	⋯	$2^2$	$1^2$
1	$99^2$	$100^2$	$99^2$	$98^2$	⋯	$3^2$	$2^2$
2	$98^2$	$99^2$	$100^2$	$99^2$	⋯	$4^2$	$3^2$
3	$97^2$	$98^2$	$99^2$	$100^2$	⋯	$5^2$	$4^2$
$t$	$(100-t)^2$	$(100-(t+1))^2$	$(100-(t+2))^2$	$(100-(t+3))^2$	⋯	$(t+2)^2$	$(t+1)^2$
99	$1^2$	$2^2$	$3^2$	$4^2$	⋯	$99^2$	$100^2$

Correction. 표의 일반 $\displaystyle t$ 행에서 1세, 2세, 3세 인구를 나타낸 식은 오기이다. 올바른 식은 각각 $\displaystyle (100-|t-1|)^2$ , $\displaystyle (100-|t-2|)^2$ , $\displaystyle (100-|t-3|)^2$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

두 문제 모두, 자연수의 거듭제급의 합인 다음의 식을 이용한다. (고등학교 수학 II 비상교육, p135)

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2$

아래 문제 (1) 풀이

(1) 2000년 말의 인구는 $\displaystyle a=100^2+99^2+98^2+\cdots+1^2=\sum_{k=1}^{100}k^2=\frac{100(101)(201)}6=338,350$ 이다.

2099년 말의 인구는 $\displaystyle b=1^2+2^2+3^2+\cdots+100^2=\sum_{k=1}^{100}k^2=\frac{100(101)(201)}6$ 이다. 따라서 $\displaystyle b-a=0$ 이다.

아래 문제 (2) 풀이 #1

(2) 평균연령은 각연령대인구에 나이를 곱한 합을 전체의 인구로 나눈값이다. 2000년말의 평균연령은 $\displaystyle c=S_0/a$ 로 표현할 수 있는데

$\displaystyle \begin{aligned}S_{2000}&=100^2\cdot0+99^2\cdot1+98^2\cdot2+\cdots+2^2\cdot98+1^2\cdot99\\&=\sum_{k=1}^{100}k^2(100-k)=100\sum_{k=1}^{100}k^2-\sum_{k=1}^{100}k^3\\&=100\frac{100(101)(201)}6-\left(\frac{100(101)}2\right)^2\end{aligned}$

이다. 따라서, $\displaystyle c=\frac{100\sum_{k=1}^{100}k^2-\sum_{k=1}^{100}k^3}{\sum_{k=1}^{100}k^2}=100-\frac{\sum_{k=1}^{100}k^3}{\sum_{k=1}^{100}k^2}=100-\frac{3(100)(101)}{2(201)}\approx24.62$ 이다.

2099년말의 평균연령은 $\displaystyle d=S_{2099}/b$ 로 표현할 수 있는데

$\displaystyle \begin{aligned}S_{2099}&=1^2\cdot0+2^2\cdot1+3^2\cdot2+\cdots+99^2\cdot98+100^2\cdot99\\&=\sum_{k=1}^{100}k^2(k-1)=\sum_{k=1}^{100}k^3-\sum_{k=1}^{100}k^2\\&=\left(\frac{100(101)}2\right)^2-\frac{100(101)(201)}6\end{aligned}$

이다. 따라서, $\displaystyle d=\frac{\sum_{k=1}^{100}k^3-\sum_{k=1}^{100}k^2}{\sum_{k=1}^{100}k^2}=\frac{\sum_{k=1}^{100}k^3}{\sum_{k=1}^{100}k^2}-1=\frac{3(100)(101)}{2(201)}-1\approx74.37$ 이다. 따라서

$\displaystyle d-c=\frac{\sum_{k=1}^{100}k^3}{\sum_{k=1}^{100}k^2}-1-\left(100-\frac{\sum_{k=1}^{100}k^3}{\sum_{k=1}^{100}k^2}\right)=2\frac{3(100)(101)}{2(201)}-101=150.7462-101=49.7462\approx50$

[문제 2-3]

주어진 $\displaystyle g(t)$ 를 적분한 $\displaystyle F(t)$ 는 2년, 10년 등에 최소값을 가지고, 6년, 14년 등에 최대값을 가지는 2차 다항식으로 이뤄져있고, 주기가 8년인 주기함수 이다 (그림 참조).

최저점에서의 $\displaystyle F(2)$ 의 값은 $\displaystyle F(2)=\int_0^2g(t)\,dt=\int_0^2\frac t2-1\,dt=\Biggl[\frac{t^2}4-t\Biggr]_0^2=-1$ 이고, 최대 정점에서의 $\displaystyle F(6)$ 값은 비슷한 방법으로 구하면 $\displaystyle F(6)=\int_0^6g(t)\,dt=\int_0^4g(t)\,dt+\int_4^6g(t)\,dt=0+1=1$ 이다.

따라서. 최초의 최저점 상황은 2년후에 찾아온다 ( $\displaystyle a=2$ ).

총수요곡선 $\displaystyle Y=3-2(X-F(t))$ 과 총공급곡선 $\displaystyle Y=X^2$ 이 만나는 점은 $\displaystyle (X_0,Y_0)=\left(-1+\sqrt{4+2F(t)},5-2\sqrt{4+2F(t)}\right)$ 이다. (왜냐하면, $\displaystyle X^2=3-2(X-F(t))\Leftrightarrow X^2+2X+1=3+2F(t)+1\Leftrightarrow X=-1+\sqrt{4+2F(t)}$ 이다.)Correction. 점의 $\displaystyle Y$ 좌표 $\displaystyle 5-2\sqrt{4+2F(t)}$ 에는 $\displaystyle 2F(t)$ 가 빠져 있다. 바른 좌표는 $\displaystyle 5+2F(t)-2\sqrt{4+2F(t)}$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이때 최소실질 GDP 값은 $\displaystyle b=-1+\sqrt{4+2F(t)}=-1+\sqrt{4+2(-1)}=-1+\sqrt2=1.41-1=0.41$ 이다.

최초로 경기가 최정점을 오를 때는 6년 후이며 ( $\displaystyle c=6$ ), 이때 최대 실질 GDP값은

$\displaystyle d=-1+\sqrt{4+2F(t)}=-1+\sqrt{4+2(1)}=-1+\sqrt6=2.45-1=1.45$

따라서 최종 답 $\displaystyle c+d-a-b=6+1.45-2-0.41=5.04$ 소수점 둘째자리에서 반올림하면 답은 5.0이다.

하위 문항	채점 기준	배점
문제 2-1	A+: 실수 없이 정답을 얻었다. A: i) 총구매액(총구매액= $\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B$ )을 올바르게 표현하였다. ii) 부등식( $\displaystyle 5^2\le(x-25)^2+(y-50)^2\le7^2$ )을 올바르게 표현하였다. iii) 부등식을 두 원 사이의 영역으로 올바르게 표현하였다. 이후 계산을 진행하였으나 사소한 실수가 있었다. B+: i) 총구매액(총구매액= $\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B$ )을 올바르게 표현하였다. ii) 부등식( $\displaystyle 5^2\le(x-25)^2+(y-50)^2\le7^2$ )을 올바르게 표현하였다. iii) 부등식을 두 원 사이의 영역으로 올바르게 표현하였다. 이후 계산을 진행하였으나 사소하지 않은 실수가 있었다. B: i) 총구매액(총구매액= $\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B$ )을 올바르게 표현하였다. ii) 부등식( $\displaystyle 5^2\le(x-25)^2+(y-50)^2\le7^2$ )을 올바르게 표현하였다. iii) 부등식을 두 원 사이의 영역으로 올바르게 표현하였다. 그러나 이후 계산을 진행하지 못했다. C: i) 총구매액(총구매액= $\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B$ )을 올바르게 표현하였다. ii) 부등식( $\displaystyle 5^2\le(x-25)^2+(y-50)^2\le7^2$ )을 올바르게 표현하였다. 그러나 부등식을 원의 방정식으로 해석하지 못했고, 최종 계산 결과가 틀렸다. D: i) 총구매액(총구매액= $\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B$ )을 올바르게 표현하였다. ii) 부등식( $\displaystyle 5^2\le(x-25)^2+(y-50)^2\le7^2$ )을 올바르게 표현하였다. 그러나 이후 계산을 진행하지 못했다. E: i) 총구매액(총구매액= $\displaystyle S=Q_A\cdot P_A+Q_B\cdot P_B$ )을 올바르게 표현하였다. 그러나 이후 계산을 진행하지 못했다. F: 총구매액을 올바르게 표현하지 못했고, 최종 계산 결과가 틀렸다.
문제 2-2	(2) A+: $\displaystyle a,b,c,d$ 의 계산식과 $\displaystyle b-a$ 이 모두 맞고 $\displaystyle d-c$ 의 값을 맞게 구했다. A: $\displaystyle b-a$ 의 값을 맞게 구한 후, $\displaystyle a,b,c,d$ 의 계산식이 모두 맞았고, $\displaystyle d-c$ 구하는 과정도 제대로 기술하고 계산도 했으나 단순 계산 오류로 인해 $\displaystyle d-c$ 의 값을 제대로 구하지 못하였다. B+: $\displaystyle b-a$ 의 값을 맞게 구한 후, $\displaystyle c,d$ 또는 $\displaystyle d-c$ 의 값을 구하는 식이 모두 맞고 $\displaystyle a,b,c,d$ 일부는 맞게 계산을 했지만 다른 식들에 대해 계산을 못하였다. 또는 한 개의 식에 작은 오류가 있고( $\displaystyle \sum_{k=1}^{99}$ 대신 $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}$ 로 하는 등의 오류) 계산을 모두 했으나 식의 오류로 인해 $\displaystyle d-c$ 의 정답을 맞게 구하지 못함. B: $\displaystyle b-a$ 의 값을 맞게 구한 후, $\displaystyle c$ 와 $\displaystyle d$ 의 값을 구하는 식을 모두 맞게 구했으나 그 뒤의 계산을 못 했거나, 둘 중 하나의 식을 맞게 구한 후 값도 제대로 구했으나 다른 값을 구하는 식이 틀림 C: $\displaystyle b-a$ 의 값을 맞게 구하고, $\displaystyle c$ 나 $\displaystyle d$ , 둘 중 하나의 값을 구하는 식을 맞게 구했다. (1) D: $\displaystyle b-a$ 의 값을 맞게 구하였으나, $\displaystyle c$ 나 $\displaystyle d$ 의 값을 구하는 식을 전혀 유도하지 못하였다. E: $\displaystyle a$ 또는 $\displaystyle b$ 의 계산식을 구했으나 $\displaystyle b-a$ 의 값을 제대로 구하지 못하였다. F: $\displaystyle a,b$ 둘 중 하나의 계산식이나 값도 제대로 구하지 못하였다.	20
문제 2-3	A+: 맞는 $\displaystyle a,b,c,d$ 을 구하고, 최종답 $\displaystyle c+d-a-b$ 을 구한다. A: 연립방정식을 이용하여, 맞는 $\displaystyle a,b,c,d$ 을 구하였으나, 최종답 $\displaystyle c+d-a-b$ 을 구하지 못하였다. B+: 맞는 $\displaystyle a,c$ 을 구하였으나, 연립방정식 $\displaystyle Y=X^2,Y=3-2(X-F(t))$ 을 풀어 $\displaystyle F(t)$ 의 최소값 ( $\displaystyle b$ ) 혹은 최대값 ( $\displaystyle d$ )을 잘못 계산하였다. B: 최대 최소 GDP를 계산하기 위해, 연립방정식 $\displaystyle Y=X^2,Y=3-2(X-F(t))$ 을 올바르게 세팅하였다. C: 함수 $\displaystyle F(t)$ 의 성질을 이용하여 최대 및 최소가 되는 점들( $\displaystyle a,c$ )을 정확히 찾았다. D: 함수 $\displaystyle g(s)$ 를 이용하여 함수 $\displaystyle F(t)$ 의 그래프를 맞게 그리거나 기술하였으나, 함수 $\displaystyle F(t)$ 의 최대 및 최소가 되는 점을 잘못 찾았다. E: 함수 $\displaystyle g(s)$ 이나 함수 $\displaystyle F(t)$ 의 그래프를 제대로 이해하지 못한다. F: 출제 의도와 전혀 무관한 답안.	25
Correction. 문제에서 $\displaystyle b,d$ 는 $\displaystyle F(t)$ 가 최소·최대가 되는 시점의 실질 GDP이다. 따라서 채점기준의 “ $\displaystyle F(t)$ 의 최소값 ( $\displaystyle b$ ) 혹은 최대값 ( $\displaystyle d$ )”은 그 시점의 실질 GDP값을 뜻하는 것으로 읽어야 한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

※ 하위 문항이 있는 경우 칸을 나누어 채점 기준을 작성함.

※ 채점 기준은 문항의 출제의도에 대한 평가를 위한 것이어야 함.

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인문사회계 Ⅱ 2번

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