자연계열 2번

[문제 2-1] 정답: $\displaystyle xy$평면에서 중심이 점 $\displaystyle A$, 반지름이 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}$인 원 위에 있는 점들 중 변 $\displaystyle AC$와 변 $\displaystyle AB$ 사이에 있는 호를 이루는 점들.

[풀이] $\displaystyle \overline{AP}=a$라 하고, $\displaystyle \angle DPA^{\prime}$을 $\displaystyle \theta$, $\displaystyle \angle DPA$을 $\displaystyle \theta^{\prime}$이라 하자. 각 $\displaystyle PAA^{\prime}$이 직각이므로 $\displaystyle \tan\theta^{\prime}=\frac1{2a},\tan(\theta+\theta^{\prime})=\frac1a$이다.

삼각함수의 덧셈 정리로부터 $\displaystyle \frac1a=\frac{\tan\theta+\frac1{2a}}{1-\frac1{2a}\tan\theta}$를 얻는다.

이 식을 $\displaystyle \tan\theta$에 대하여 정리하면 $\displaystyle \tan\theta=\frac a{2a^2+1}$이다.

$\displaystyle \tan\theta$가 최댓값을 가질 때 $\displaystyle \theta$의 크기가 최대이므로 $\displaystyle f(a)=\frac a{2a^2+1}$가 최댓값을 가질 때의 $\displaystyle a$값을 구한다.

$\displaystyle f^{\prime}(a)=\frac{(2a^2+1)-a\cdot4a}{(2a^2+1)^2}=\frac{-2a^2+1}{(2a^2+1)^2}=0$을 풀면 $\displaystyle a\ge0$이므로 $\displaystyle a=\frac1{\sqrt2}$이다. $\displaystyle 0\le a<\frac1{\sqrt2}$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(a)>0$이고 $\displaystyle a>\frac1{\sqrt2}$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(a)<0$이므로, $\displaystyle f(a)$는 $\displaystyle a=\frac1{\sqrt2}$일 때 최댓값 $\displaystyle \frac1{2\sqrt2}$을 갖는다.

$\displaystyle a$는 점 $\displaystyle P$에서 점 $\displaystyle A$까지 거리이므로, 점 $\displaystyle A$로부터 거리가 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}$인 점은 모두 $\displaystyle \tan\theta$의 값이 최댓값 $\displaystyle \frac1{2\sqrt2}$을 갖는다.

따라서 $\displaystyle \theta$의 크기는 $\displaystyle \overline{AP}=\frac1{\sqrt2}$일 때 최대이고, 이를 만족하는 점 $\displaystyle P$는 중심이 점 $\displaystyle A$, 반지름이 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}$인 원 위에 있는 점들 중 변 $\displaystyle AC$와 변 $\displaystyle AB$ 사이에 있는 호를 이루는 점들이다.

[문제 2-2] 정답: $\displaystyle \frac{49\sqrt3}{576}$

[풀이] 점 $\displaystyle D,N,F$의 좌표는 각각 $\displaystyle D\left(1,0,\frac12\right)$, $\displaystyle N\left(\frac34,\frac{\sqrt3}4,0\right)$, $\displaystyle F\left(\frac14,\frac{\sqrt3}4,1\right)$이다.

위 세 점을 이용하여 평면 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터 $\displaystyle \left(2,\frac4{\sqrt3},1\right)$을 얻는다.

따라서 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식은 $\displaystyle 4x+\frac8{\sqrt3}y+2z-5=0$이다.

평면 $\displaystyle \alpha$와 직선 $\displaystyle A^{\prime}C^{\prime}$의 교점을 $\displaystyle G$, 평면 $\displaystyle \alpha$와 직선 $\displaystyle BC$의 교점을 $\displaystyle H$라고 하자. 직선 $\displaystyle A^{\prime}C^{\prime}$ 위의 점은 $\displaystyle (x,0,1)$으로 나타낼 수 있고 이를 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식에 대입하여 점 $\displaystyle G$의 좌표 $\displaystyle \left(\frac34,0,1\right)$를 얻는다.

비슷하게, 직선 $\displaystyle BC$위의 점은 $\displaystyle (x,\sqrt3x,0)$으로 나타낼 수 있고 이를 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식에 대입하여 점 $\displaystyle H$의 좌표 $\displaystyle \left(\frac5{12},\frac{5\sqrt3}{12},0\right)$을 얻는다.

직선 $\displaystyle A^{\prime}B^{\prime}$ 위의 점은 $\displaystyle (t+1,-\sqrt3t,1)$이고 이를 이용하여 평면 $\displaystyle \alpha$와 직선 $\displaystyle A^{\prime}B^{\prime}$의 교점 $\displaystyle I\left(\frac54,-\frac{\sqrt3}4,1\right)$을 얻는다. 비슷하게, 직선 $\displaystyle BB^{\prime}$ 위의 점은 $\displaystyle \left(\frac12,\frac{\sqrt3}2,t\right)$이고 이를 이용하여 평면 $\displaystyle \alpha$와 직선 $\displaystyle BB^{\prime}$의 교점 $\displaystyle J\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2,-\frac12\right)$을 얻는다.

구하고자 하는 부피는 사면체 $\displaystyle FIJB^{\prime}$의 부피에서 사면체 $\displaystyle A^{\prime}DGI$의 부피와 사면체 $\displaystyle BHNJ$의 부피의 합을 뺀 것과 같다.

사면체 $\displaystyle FIJB^{\prime}$의 부피는 $\displaystyle \frac13\cdot\triangle FIB^{\prime}\cdot\overline{B^{\prime}J}=\frac13\cdot\left(\frac12\cdot\frac32\cdot\frac{\sqrt3}4\right)\cdot\frac32=\frac{3\sqrt3}{32}$이다.

사면체 $\displaystyle A^{\prime}DGI$의 부피는 $\displaystyle \frac13\cdot\triangle A^{\prime}IG\cdot\overline{A^{\prime}D}=\frac13\cdot\left(\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}8\right)\cdot\frac12=\frac{\sqrt3}{192}$이다.

사면체 $\displaystyle BHNJ$의 부피는 $\displaystyle \frac13\cdot\triangle BNH\cdot\overline{BJ}=\frac13\cdot\left(\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{12}\right)\cdot\frac12=\frac{\sqrt3}{288}$이다.

따라서 구하는 부피는 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}{32}-\left(\frac{\sqrt3}{192}+\frac{\sqrt3}{288}\right)=\frac{49\sqrt3}{576}$이다.