자연계열 1번

[문제 1-1] 정답: $\displaystyle 10-\frac{\sqrt{10}}2$[풀이]

직선 $\displaystyle AD$의 방정식은 $\displaystyle x+y-7=0$이므로 점 $\displaystyle P(x,y)$에서 직선 $\displaystyle AD$까지 거리는 $\displaystyle \frac{|x+y-7|}{\sqrt{1^2+1^2}}$이다. 사각형 내부 또는 경계에서 $\displaystyle x+y-7\le0$ 이고 $\displaystyle \overline{AD}=\sqrt2$이므로 삼각형 $\displaystyle ADP$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot\sqrt2\cdot\frac{7-x-y}{\sqrt2}=\frac12(7-x-y)$이다.

삼각형 $\displaystyle BCP$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot4\cdot y=2y$이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle ADP$와 삼각형 $\displaystyle BCP$의 넓이의 합을 $\displaystyle k$라고 하면, $\displaystyle k=\frac12(7-x-y)+2y=\frac12(7-x+3y)$이다. 따라서 점 $\displaystyle P$의 좌표 $\displaystyle (x,y)$는 직선의 방정식 $\displaystyle x-3y-7+2k=0$을 만족한다.

또한, $\displaystyle \overline{PA}=1$이므로 점 $\displaystyle P$의 좌표 $\displaystyle (x,y)$는 $\displaystyle (x-2)^2+(y-5)^2=1$을 만족한다.

따라서, 구하고자 하는 $\displaystyle k$의 최솟값은 직선 $\displaystyle x-3y-7+2k=0$이 원 $\displaystyle (x-2)^2+(y-5)^2=1$과 만나게 하는 $\displaystyle k$의 최솟값이다.

$\displaystyle x-3y-7+2k=0$에서 $\displaystyle x=3y+7-2k$이고 이것을 원의 방정식에 대입하여 $\displaystyle (3y+7-2k-2)^2+(y-5)^2=1$을 얻는다. 즉, $\displaystyle 10y^2+(20-12k)y+4k^2-20k+49=0$이다.

이 $\displaystyle y$에 대한 이차방정식의 판별식이 0 이상일 때 실근을 갖는다.

판별식이 $\displaystyle (20-12k)^2-4\cdot10\cdot(4k^2-20k+49)=4(-4k^2+80k-390)$이므로 $\displaystyle -4k^2+80k-390\ge0$일 때 실근을 갖는다.

이 $\displaystyle k$에 대한 이차부등식을 풀면 $\displaystyle 10-\frac{\sqrt{10}}2\le k\le10+\frac{\sqrt{10}}2$ 이다. 따라서 $\displaystyle k$의 최솟값은 $\displaystyle 10-\frac{\sqrt{10}}2$이다.

[문제 1-2] 정답: $\displaystyle \frac98\sqrt6$[풀이]

사각형 $\displaystyle EFGH$를 포함하는 평면을 $\displaystyle \alpha$라 하자. 점 $\displaystyle E,F,G,H$를 이용하여 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식을 구하면 $\displaystyle x+y+z=1$이다. 평면 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle xy$평면이 이루는 이면각을 $\displaystyle \theta$라 하고, 점 $\displaystyle E,F,G,H,Q$의 $\displaystyle xy$평면으로의 정사영을 각각 $\displaystyle E^{\prime},F^{\prime},G^{\prime},H^{\prime},Q^{\prime}$이라 하자. $\displaystyle \cos\theta=\frac{(1,1,1)\cdot(0,0,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\sqrt{1^2}}=\frac1{\sqrt3}$이고, 삼각형 $\displaystyle E^{\prime}H^{\prime}Q^{\prime}$와 삼각형 $\displaystyle G^{\prime}F^{\prime}Q^{\prime}$의 넓이의 합을 $\displaystyle S$라 하면 $\displaystyle S=5\sqrt3\cos\theta=5\sqrt3\cdot\frac1{\sqrt3}=5$이다.

직선 $\displaystyle E^{\prime}H^{\prime}$의 방정식은 $\displaystyle x-y+1=0$이므로 점 $\displaystyle Q^{\prime}$의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 하면 점 $\displaystyle Q^{\prime}$과 직선 $\displaystyle E^{\prime}H^{\prime}$사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|x-y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$이다. 사각형 $\displaystyle E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime}$ 내부 또는 경계에서 $\displaystyle x-y+1\ge0$이므로 이 거리는 $\displaystyle \frac{x-y+1}{\sqrt2}$이다.

$\displaystyle \overline{E^{\prime}H^{\prime}}=\sqrt2$이므로 삼각형 $\displaystyle E^{\prime}H^{\prime}Q^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot\overline{E^{\prime}H^{\prime}}\cdot\frac{x-y+1}{\sqrt2}=\frac12(x-y+1)$이다.

삼각형 $\displaystyle G^{\prime}F^{\prime}Q^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot\overline{G^{\prime}F^{\prime}}\cdot(4-x)=\frac32(4-x)$이다.

따라서 $\displaystyle S=\frac12(x-y+1)+\frac32(4-x)=-x-\frac y2+\frac{13}2$이다.

$\displaystyle S=5$이므로 $\displaystyle -x-\frac y2+\frac{13}2=5$이고, 정리하여 $\displaystyle y=-2x+3$을 얻는다. 즉, $\displaystyle S=5$인 점 $\displaystyle Q^{\prime}$의 모임은 직선 $\displaystyle y=-2x+3$에 포함되어 있는 선분이다.

직선 $\displaystyle H^{\prime}G^{\prime}$의 방정식이 $\displaystyle y=1$임을 이용하여, 직선 $\displaystyle y=-2x+3$과 직선 $\displaystyle H^{\prime}G^{\prime}$의 교점 $\displaystyle I^{\prime}(1,1)$을 얻는다. 직선 $\displaystyle E^{\prime}F^{\prime}$의 방정식이 $\displaystyle y=-\frac25x-\frac25$임을 이용하여 직선 $\displaystyle y=-2x+3$과 직선 $\displaystyle E^{\prime}F^{\prime}$의 교점 $\displaystyle J^{\prime}\left(\frac{17}8,-\frac54\right)$를 얻는다. 따라서 점 $\displaystyle Q^{\prime}$가 이루는 선분은 선분 $\displaystyle I^{\prime}J^{\prime}$이다.

점 $\displaystyle I^{\prime}$는 평면 $\displaystyle \alpha$의 점 $\displaystyle I(1,1,-1)$의 $\displaystyle xy$평면으로의 정사영이고 점 $\displaystyle J^{\prime}$는 평면 $\displaystyle \alpha$의 점 $\displaystyle J\left(\frac{17}8,-\frac54,\frac18\right)$의 $\displaystyle xy$평면으로의 정사영이므로, 평면 $\displaystyle \alpha$위에서 점 $\displaystyle Q$의 모임이 이루는 선분은 선분 $\displaystyle IJ$이다. $\displaystyle \overline{IJ}=\sqrt{\left(\frac98\right)^2+\left(\frac94\right)^2+\left(\frac98\right)^2}=\frac98\sqrt6$이다.