인문사회계 Ⅱ 2번

▶ 2-1번 문항

연립방정식을 이용하여 문제를 접근할 수 있는 기초적인 논리력과 수학능력이 있는지를 알아보는 문제이다.

원래 지급되어야 할 보조금에 대한 상황을 방정식으로 표현하면 다음과 같은 연립방정식이 나온다. 원래 10만원 지급받아야 하는 가구의 수를 $\displaystyle a$원래 5만원 지급받아야 하는 가구의 수를 $\displaystyle b$라고 할 때$\displaystyle \begin{cases}a+b=800\\10a+5b=5000\end{cases}$이 연립방정식을 풀면 $\displaystyle a=200,b=600$를 구한다. 즉 10만원씩 보조 받는 가구 수는 200가구이고 5만원씩 보조 받는 가구 수는 600가구이다.

10만원을 받아야 하는데 5만원을 지급받은 가구의 수를 $\displaystyle c$5만원을 지급받아야 하는데, 10만원으로 잘못 지급받은 가구의 수를 $\displaystyle d$라고 놓을 때,$\displaystyle \begin{cases}c+d=600\\5c+10d=5000\end{cases}$이 연립방정식을 풀면 $\displaystyle c=200,d=400$으로 10만원을 받아야 하는 200가구는 이미 모두 5만원으로 잘 못 지급받았고, 5만원을 지급받아야 하는데, 10만원으로 잘못 지급받은 가구의 수는 400가구이므로 아직 보조금을 지급받지 못한 가구는 5만원을 지급받는 200가구만 남아 있다. 따라서 $\displaystyle a-b+c-d=-600$이다.

▶ 2-2번 문항

사람들은 본인의 세금이 높은 곳에서 낮은 곳으로 이주할 동기가 있다. 다만 이주비용이 세금의 차이보다 크다면 이주하지 않게 된다. 따라서 A국가에서의 세금, B국가에서의 세금, 이주비용을 함께 고려해야 한다. B국가의 누진세율로 인해 세금 계산식이 소득구간에 따라 달라지게 되어 소득구간을 적절히 나누어 해당 구간에 속한 사람들의 이주동기를 살펴보아야 한다.

구간1: $\displaystyle Y<1000$소득이 1000 미만인 사람들은 B국가보다 A국가에서 더 높은 세금을 낸다. 따라서 만약 이주하는 사람이 있다면 A국가에서 B국가로 이주하는 경우일 것이다. 소득이 1000 미만인 A국가 국민이 B국가로 이주하기 위해서는 다음 부등식이 성립해야 한다: $\displaystyle Y-0.2Y<Y-(600-0.1Y)$이 식을 정리하면 $\displaystyle Y>2000$이 된다. 소득이 1000 미만이면서 동시에 2000을 초과하는 사람은 존재하지 않기에 이 소득구간의 사람들은 이주하지 않는다.

구간2: $\displaystyle 1000<Y<5000$소득이 1000 초과 5000 미만인 경우도 A국가에서 세금이 더 높아서 (B국가에서는 총소득 중 1000만큼의 소득에 대해서는 과세하지 않기 때문) 이주하는 사람이 있다면 A국가에서 B국가로 이주하는 경우일 것이다. 소득이 1000 초과 5000 미만인 A국가 국민이 B국가로 이주하기 위해서는 다음 부등식이 성립해야 한다:$\displaystyle Y-0.2Y<Y-[0.2(Y-1000)]-(600-0.1Y)$이 식을 정리하면 $\displaystyle Y>4000$이 된다. 따라서 A국가에서 $\displaystyle 1000<Y<5000$이면서 $\displaystyle Y>4000$인 국민들, 즉 $\displaystyle 4000<Y<5000$인 14명이 B국가로 이주하게 된다.

구간3: $\displaystyle Y>5000$소득이 5000을 초과하는 경우에는 정확한 소득에 따라서 A국가와 B국가에서의 상대적 세부담이 달라진다. 소득이 5000을 약간 초과하는 경우에는 B국가에서 소득 중 1000에 대해 과세하지 않는 영향이 커 B국가에서의 세금이 더 적지만 소득이 5000을 크게 초과하는 경우 40%의 높은 세율을 적용받는 소득이 많아져 B국가에서 세금이 더 많아지게 된다. 세금의 상대적 크기가 바뀌는 정확한 지점은 다음 식으로 찾을 수 있다: $\displaystyle Y-0.2Y=Y-[(0.2\times4000)+0.4(Y-5000)]$이 식을 정리하면 $\displaystyle Y=6000$을 얻을 수 있다. 즉 소득이 5000 초과 6000 미만인 사람들은 A국가에서 세금이 높고, 소득이 6000을 초과하는 사람들은 B국가에서 세금이 높다.

구간 3-1: $\displaystyle 5000<Y<6000$A국가에서 소득이 5000 초과 6000 미만인 사람들이 B국가로 이주한다면 다음 식이 성립하는 경우이다:$\displaystyle Y-0.2Y<Y-[(0.2\times4000)+0.4(Y-5000)]-(600-0.1Y)$위 식을 정리하면 $\displaystyle Y<6000$이 된다. 따라서 A국가에서 소득이 5000 초과 6000 미만인 14명은 B국가로 이주하게 된다.

구간 3-2: $\displaystyle Y>6000$B국가에서 소득이 6000을 초과하는 사람들이 A국가로 이주한다면 다음 식이 성립하는 경우이다:$\displaystyle Y-0.2Y>Y-[(0.2\times4000)+0.4(Y-5000)]$위 식을 정리하면 $\displaystyle Y>6000$이 된다. 따라서 B국가에서 소득이 6000을 초과하는 38명은 A국가로 이주하게 된다.

종합하면 A국가에서 B국가로 28명이 이주하며, B국가에서 A국가로 38명이 이주하게 되어 A국가의 인구는 110명, B국가의 인구는 90명이 된다.

▶ 2-3번 문항

주어진 수요곡선은 $\displaystyle Y=f(X)=2^{2k}X^2-2^{2k+1}X+2^{2k}=2^{2k}(X-1)^2$을 $\displaystyle Y=B^2(X-1)^2$로 간략화 한다. 여기서, 계산을 편리하게 하기 위해, $\displaystyle B=2^k$라 하자.

(1) $\displaystyle k=1$이므로, $\displaystyle Y=f(X)=4(X-1)^2$이다. 제품의 가격이 1원$\displaystyle (P_0=1)$일 때, 수요양은 방정식 $\displaystyle 1=4(X-1)^2$으로부터 $\displaystyle X=1\pm\frac12=\frac32,\frac12$이다. $\displaystyle 0\le X\le1$조건을 만족해야 하므로, $\displaystyle Q_0=\frac12$이다. $\displaystyle X=Q_1$일 때 기울기가 -2이므로, $\displaystyle f^{\prime}(X)=8(X-1)$로부터, $\displaystyle 8(Q_1-1)=-2$이고 $\displaystyle Q_1=\frac34$이다. 이때 가격이 $\displaystyle P_1$이므로 $\displaystyle P_1=4(Q_1-1)^2=\frac14$이다.

이 제품의 가격이 1원에서 $\displaystyle P_1$원으로 변하였을 때, 가격변화율 $\displaystyle \frac{\Delta P}{P}=\frac{P_1-P_0}{P_0}=\frac{(1/4)-1}{1}=-\frac34$이고, 수요량 변화율은 $\displaystyle \frac{\Delta Q}{Q}=\frac{Q_1-Q_0}{Q_0}=\frac{\left(\frac34\right)-\left(\frac12\right)}{\frac12}=\frac32-1=\frac12$이다. 따라서, 수요의 가격탄력성 $\displaystyle -\frac{\Delta Q/Q}{\Delta P/P}=-\frac{\frac12}{-\frac34}=\frac23$이다.

(2) 제품가격이 1원$\displaystyle (P_0=1)$일 때, 수요양은 방정식 $\displaystyle 1=B^2(X-1)^2$으로부터 $\displaystyle Q_0=-\frac1B+1$이다. 제품가격이 0.81원$\displaystyle (P_1=0.04)$일 때, 수요양은 방정식 $\displaystyle 0.81=B^2(X-1)^2$으로부터 $\displaystyle Q_1=-\frac{0.9}B+1$이다. 제품가격이 1원일 때, $\displaystyle k$번째 회사의 이익은 사각형 $\displaystyle OP_0E_0Q_0$의 면적 $\displaystyle 1\times\left(-\frac1B+1\right)=-\frac1B+1$이다. 제품가격이 0.81원일 때, $\displaystyle k$번째 제품으로부터 이익은 사각형 $\displaystyle OP_1E_1Q_1$의 면적 $\displaystyle 0.81\left(-\frac{0.9}B+1\right)$이다. 이로부터, $\displaystyle k$번째 제품으로부터 수입의 변화는 $\displaystyle \Delta R_k=0.81\left(-\frac{0.9}B+1\right)-\left(-\frac1B+1\right)=\frac{1-0.9\times0.81}B-0.19=\frac{0.271}{2^k}-0.19$이다. 따라서, 제품가격이 1원에서 0.81원으로 변하였을 때, 10개 제품의 수입 변화의 총합은 $\displaystyle \Delta R=\sum_{k=1}^{10}\Delta R_k=\sum_{k=1}^{10}\left(\frac{0.271}{2^k}-0.19\right)$이다. 이를 계산하면Correction. 괄호 안의 $\displaystyle P_1=0.04$는 $\displaystyle P_1=0.81$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \Delta R=0.271\sum_{k=1}^{10}\frac1{2^k}-1.9=0.271\times\frac{\frac12\left(1-\left(\frac12\right)^{10}\right)}{1-1/2}-1.9=-1.629-0.271\left(\frac12\right)^{10}$이다. 주어진 식 $\displaystyle \left(\frac12\right)^{10}=0.001$을 이용하면, $\displaystyle \Delta R=-1.629-0.000271=-1.629271$이다.

(3) $\displaystyle k=2$이다. 이때 수요 총수요곡선은 $\displaystyle Y=16(X-1)^2=f(X)$이다. $\displaystyle n$개월 후 2번째 제품의 가격은 $\displaystyle P_n=1-\sum_{m=1}^n(1/3)^m=1-\frac{\frac13\left(1-\left(\frac13\right)^n\right)}{1-1/3}=\frac12+\frac12\left(\frac13\right)^n$원이다. 따라서, 10개월후 발생하는 제품의 가격은 $\displaystyle P_{10}=\frac12+\frac12\left(\frac13\right)^{10}=\frac{1+a}2$이다. 이 때 $\displaystyle P_{10}=\frac{1+a}2=16(X-1)^2$로부터, 수요량은 $\displaystyle Q_{10}=-\frac{\sqrt{(1+a)/2}}4+1$이다. 따라서, 10 개월 후 발생하는 소비자 잉여는 $\displaystyle Z_{10}=\int_0^{Q_{10}}f(X)dX$−(사각형 $\displaystyle OP_{10}E_{10}Q_{10}$의 면적). 이를 계산하면,

$\displaystyle \begin{aligned}Z_{10}&=\int_0^{Q_{10}}16(X-1)^2dX-(P_{10}\times Q_{10})=\frac{16}3\Biggl[(X-1)^3\Biggr]_0^{Q_{10}}-\frac{1+a}2\left(-\frac{\sqrt{(1+a)/2}}4+1\right)\\&=\frac{16}3\left[-\frac1{4^3 2\sqrt2}(1+a)^{3/2}+1\right]+\left(\frac{(1+a)^{3/2}}{8\sqrt2}-\frac{(1+a)}2\right)\\&=\frac{29}6-\frac a2-\frac{(1+a)^{3/2}}{24\sqrt2}+\frac{(1+a)^{3/2}}{8\sqrt2}\\&=\frac{29}6-\frac a2+\frac{(1+a)^{3/2}}{12\sqrt2}\\&=\frac{29}6-\frac a2+\frac{\sqrt2(1+a)^{3/2}}{24}\end{aligned}$