자연계열 1번

[1-1]답: $\displaystyle 6,\ \frac{24}{5}$

풀이:

$\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$의 장축의 꼭짓점은 $\displaystyle (\pm3,0)$이다. 그러므로 타원의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 항상 6이다. 이제 $\displaystyle \overline{FA}=a,\ \overline{F^{\prime}A}=b$라 하자. 점 $\displaystyle A$에서 두 초점에 이르는 거리의 합이 6이고 $\displaystyle \triangle AFF^{\prime}$이 직각삼각형이라는 사실로부터 다음의 두 방정식을 얻는다.$\displaystyle a+b=6$$\displaystyle a^2+b^2=(2\sqrt5)^2=20$연립하여 풀면 $\displaystyle a=4,b=2$와 $\displaystyle a=2,b=4$인 두 경우가 나온다.

경우(1): $\displaystyle \overline{FA}=4,\ \overline{F^{\prime}A}=2$인 경우

$\displaystyle \overline{FB}=x,\ \overline{F^{\prime}B}=y$라 하자. 점 $\displaystyle B$에서 두 초점에 이르는 거리의 합이 6이고 $\displaystyle \triangle FAB$가 직각삼각형이라는 사실로부터 다음의 두 방정식을 얻는다.$\displaystyle x+y=6$$\displaystyle 4^2+(2+y)^2=x^2$연립하여 풀어 $\displaystyle y=1$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle \triangle FAB$의 넓이 $\displaystyle S=\frac12\cdot4\cdot(2+1)=6$이다.

경우(2): $\displaystyle \overline{FA}=2,\ \overline{F^{\prime}A}=4$인 경우

경우 (1)과 같이 하여 아래의 방정식을 얻는다.$\displaystyle x+y=6$$\displaystyle 2^2+(4+y)^2=x^2$연립하여 풀어 $\displaystyle y=\frac45$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle \triangle FAB$의 넓이 $\displaystyle S=\frac12\cdot2\cdot\left(4+\frac45\right)=\frac{24}{5}$이다.

경우 (1)과 (2)로부터 $\displaystyle S$의 값은 6 또는 $\displaystyle \frac{24}{5}$이다.

[1-2]답: $\displaystyle \frac14$

풀이:

점 $\displaystyle F^{\prime}$을 지나는 직선 $\displaystyle AB$의 방정식을 $\displaystyle y=m(x-1)$이라고 하자. 점 $\displaystyle A$와 점 $\displaystyle B$는 타원 위의 점이므로 타원의 방정식 $\displaystyle x^2+2y^2=2$를 만족한다. 두 방정식 $\displaystyle y=m(x-1)$과 $\displaystyle x^2+2y^2=2$를 연립하면 $\displaystyle x^2+2m^2(x-1)^2=2$이다. 이를 정리하여 $\displaystyle (1+2m^2)x^2-4m^2x+(2m^2-2)=0$을 얻는다. 이 방정식의 두 근 $\displaystyle x=\frac{2m^2\pm\sqrt{2+2m^2}}{1+2m^2}$은 각각 점 $\displaystyle A$와 점 $\displaystyle B$의 $\displaystyle x$좌표이다. 따라서 점 $\displaystyle M$의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle \frac12\left(\frac{2m^2+\sqrt{2+2m^2}}{1+2m^2}+\frac{2m^2-\sqrt{2+2m^2}}{1+2m^2}\right)=\frac{2m^2}{1+2m^2}$이다. 그러므로 점 $\displaystyle M$의 좌표는 $\displaystyle M\left(\frac{2m^2}{1+2m^2},\frac{-m}{1+2m^2}\right)$이다.

이제 직선 $\displaystyle FM$의 기울기를 $\displaystyle f(m)$이라 하자. 초점 $\displaystyle F$의 좌표가 $\displaystyle F(-1,0)$이므로$\displaystyle f(m)=\frac{\frac{-m}{1+2m^2}-0}{\frac{2m^2}{1+2m^2}-(-1)}=\frac{-m}{1+4m^2}$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(m)=\frac{4m^2-1}{(1+4m^2)^2}$이고, $\displaystyle f^{\prime}(m)=0$에서 $\displaystyle m=\pm\frac12$을 얻는다. $\displaystyle f^{\prime}(m)$의 부호를 조사하면 $\displaystyle f(m)$이 $\displaystyle m=-\frac12$일 때 최댓값을 가짐을 알 수 있다. 따라서 최댓값은 $\displaystyle f\left(-\frac12\right)=\frac14$이다.