건국대 2020학년도 수시 자연계열 2번 해설

제시문 2

(가) 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\displaystyle P$ 에서 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle P^{\prime}$ 이라고 할 때, 점 $\displaystyle P^{\prime}$ 을 점 $\displaystyle P$ 의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영이라고 한다. 또 도형 $\displaystyle F$ 에 속하는 각 점의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영으로 이루어진 도형 $\displaystyle F^{\prime}$ 을 도형 $\displaystyle F$ 의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영이라고 한다.

(나) 공간 위의 한 점 $\displaystyle P$ 에서 직선 $\displaystyle l$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$ 라 할 때, 점 $\displaystyle P$ 와 직선 $\displaystyle l$ 사이의 거리는 선분 $\displaystyle PH$ 의 길이와 같다.

(다) 공간 위의 한 점 $\displaystyle P$ 에서 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$ 라 할 때, 점 $\displaystyle P$ 와 평면 $\displaystyle \alpha$ 사이의 거리는 선분 $\displaystyle PH$ 의 길이와 같다.

(라) [그림 2]는 사면체 $\displaystyle ABCD$ 를 나타낸 것이다. 점 $\displaystyle P$ 는 선분 $\displaystyle BD$ 위에 있고, 선분 $\displaystyle CD$ 와 평면 $\displaystyle ABC$ 는 수직으로 만난다.

(마) [그림 3]은 사면체 $\displaystyle ABCD$ 와 이를 포함하는 사면체 $\displaystyle ABCE$ 를 나타낸 것이다. 점 $\displaystyle D$ 는 선분 $\displaystyle CE$ 위에 있다.

점 P가 BD 위에 있는 사면체 ABCD와 점 D가 CE 위에 있는 사면체 ABCE

문제 2-1[그림 2]에서 점 $\displaystyle B$ 와 직선 $\displaystyle AC$ 사이의 거리는 6이고, $\displaystyle \overline{DP}=4$ 이다. 점 $\displaystyle P$ 의 평면 $\displaystyle ABC$ 위로의 정사영을 $\displaystyle Q$ , 점 $\displaystyle P$ 에서 직선 $\displaystyle AC$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle R$ 라고 하자. $\displaystyle \overline{CQ}=2$ 이고 $\displaystyle \overline{CR}=1$ 일 때, 선분 $\displaystyle CD$ 의 길이를 구하고 풀이과정을 쓰시오.

문제 2-2[그림 3]에서 삼각형 $\displaystyle ABC$ 와 삼각형 $\displaystyle ABE$ 의 넓이는 각각 5와 3이다. 선분 $\displaystyle CD$ 는 길이가 2이고, 선분 $\displaystyle CD$ 의 평면 $\displaystyle ABE$ 위로의 정사영의 길이는 1이다. 점 $\displaystyle D$ 와 평면 $\displaystyle ABC$ 사이의 거리를 구하고 풀이과정을 쓰시오.

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[2-1] 답: $\displaystyle 12$

풀이:

선분 $\displaystyle CD$ 가 평면 $\displaystyle ABC$ 와 수직이므로 점 $\displaystyle Q$ 는 직선 $\displaystyle BC$ 위에 있다. 삼수선의 정리에 의하여 점 $\displaystyle R$ 은 점 $\displaystyle Q$ 에서 직선 $\displaystyle AC$ 에 내린 수선의 발이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle CRQ$ 는 직각삼각형이다. $\displaystyle \overline{CQ}=2,\ \overline{CR}=1$ 이므로 $\displaystyle \overline{QR}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$ 이다.

점 $\displaystyle B$ 에서 직선 $\displaystyle AC$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle E$ 라고 하자. 삼각형 $\displaystyle CRQ$ 와 삼각형 $\displaystyle CEB$ 는 닮은 삼각형이다. $\displaystyle \overline{QR}=\sqrt3,\ \overline{BE}=6$ 이므로 $\displaystyle \overline{BC}=\overline{CQ}\cdot\frac6{\sqrt3}=2\cdot\frac6{\sqrt3}=4\sqrt3$ 이다. 각 $\displaystyle CBD$ 의 크기를 $\displaystyle \theta$ 라고 할 때, $\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{CQ}}{\overline{DP}}=\frac24=\frac12$ 이고, 따라서 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$ 이다.

각 $\displaystyle BCD$ 가 직각이므로, $\displaystyle \overline{CD}=\overline{BC}\tan\theta=4\sqrt3\tan\frac\pi3=4\sqrt3\cdot\sqrt3=12$ 이다.

[2-2] 답: $\displaystyle \frac{3\sqrt3}{5}$

풀이:

점 $\displaystyle C$ 에서 평면 $\displaystyle ABE$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle G$ 라 하고 점 $\displaystyle D$ 에서 직선 $\displaystyle CG$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$ 라 하자. 선분 $\displaystyle DH$ 의 길이는 선분 $\displaystyle CD$ 의 평면 $\displaystyle ABE$ 위로의 정사영의 길이와 같으므로 $\displaystyle \overline{DH}=1$ 이다. 삼각형 $\displaystyle CHD$ 가 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{CH}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$ 이다.

$\displaystyle \begin{aligned}&(\text{사면체 }ABCD\text{의 부피})\\&=(\text{사면체 }ABEC\text{의 부피})-(\text{사면체 }ABED\text{의 부피})\\&=\frac13\cdot(\text{삼각형 }ABE\text{의 넓이})\cdot\overline{CG}-\frac13\cdot(\text{삼각형 }ABE\text{의 넓이})\cdot\overline{HG}\\&=\frac13\cdot3\cdot(\overline{CG}-\overline{HG})\\&=\frac13\cdot3\cdot\overline{CH}\\&=\sqrt3\end{aligned}$ 이다.

점 $\displaystyle D$ 와 평면 $\displaystyle ABC$ 사이의 거리를 $\displaystyle d$ 라 하면 $\displaystyle (\text{사면체 }ABCD\text{의 부피})=\frac13\cdot(\text{삼각형 }ABC\text{의 넓이})\cdot d=\frac53d$ 이다.

따라서 $\displaystyle \frac53d=\sqrt3$ 이고 $\displaystyle d=\frac{3\sqrt3}{5}$ 이다.

하위 문항	채점 기준	배점
2-1	F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음
2-1	E: [그림 2]를 그리고 점 $\displaystyle Q$ 를 선분 $\displaystyle BC$ 위에, 점 $\displaystyle R$ 을 선분 $\displaystyle CE$ 위에 나타내고 직각임을 표시함
2-1	D: 직선 $\displaystyle QR$ 이 직선 $\displaystyle AC$ 와 수직으로 만남을 그리거나 적음
2-1	C: D와 더불어, $\displaystyle \overline{QR}=\sqrt3$ 또는 $\displaystyle \cos\theta=\frac12$ 중의 하나를 구함
2-1	B: D와 더불어 $\displaystyle \overline{QR}=\sqrt3$ 과 $\displaystyle \overline{BC}=4\sqrt3$ 을 구함
2-1	B+: D와 더불어 $\displaystyle \overline{QR}=\sqrt3,\ \overline{BC}=4\sqrt3,\ \cos\theta=\frac12$ 을 모두 구함
2-1	A: B+와 더불어 $\displaystyle \overline{CD}$ 를 구하였으나 답이 틀림
2-1	A+: B+와 더불어 $\displaystyle \overline{CD}=12$ 를 구함
2-2	F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음
2-2	E: 점 $\displaystyle D$ 에서 직선 $\displaystyle CG$ 에 수선의 발을 내림
2-2	D: 다음 (1)~(3) 중 한 개를 맞게 기술함 (1) 사면체 $\displaystyle ABCD$ 의 부피 $\displaystyle =\frac53d$ (2) 사면체 $\displaystyle ABCD$ 의 부피 $\displaystyle =\overline{CH}$ (3) $\displaystyle \overline{CH}=\sqrt3$
2-2	C: 위 (1)~(3) 중 두 개를 맞게 기술함
2-2	B: 위 (1)~(3) 세 개를 모두 기술하였으나 두 개만 맞게 기술함
2-2	B+: 위 (1)~(3) 세 개를 모두 맞게 기술함
2-2	A: B+와 더불어 $\displaystyle d$ 를 계산하였으나 틀린 답을 구함
2-2	A+: B+와 더불어 $\displaystyle d=\frac{3\sqrt3}{5}$ 을 구함

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