인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1]기술자격증을 가진 직원의 집합을 O, 가지지 않은 직원의 집합을 X라 하자. 또한 A팀에 속한 직원의 집합을 A, B팀에 속한 직원의 집합을 B라고 하자. 문제에서 제시된 값에 따라 $\displaystyle P(\mathrm O)=0.5,\ P(\mathrm X)=0.5,\ P(\mathrm A|\mathrm O)=0.8,\ P(\mathrm B|\mathrm O)=0.2,\ P(\mathrm A|\mathrm X)=0.4,\ P(\mathrm B|\mathrm X)=0.6$$\displaystyle P(\mathrm O|\mathrm A)=\frac{P(\mathrm O\cap\mathrm A)}{P(\mathrm A)}=\frac{P(\mathrm A|\mathrm O)P(\mathrm O)}{P(\mathrm A)}=\frac{P(\mathrm A|\mathrm O)P(\mathrm O)}{P(\mathrm A|\mathrm O)P(\mathrm O)+P(\mathrm A|\mathrm X)P(\mathrm X)}=\frac{0.8\times0.5}{0.8\times0.5+0.4\times0.5}=\frac23$따라서 소수점 아래 세 자리에서 반올림 한 값은 0.67이다.Caution. 확률 $\displaystyle p$는 백분율로 $\displaystyle (100p)\%$이고, $\displaystyle q\%$는 확률값 $\displaystyle \frac{q}{100}$을 뜻한다: 문제 2-1은 확률을 몇 %인지 물었으므로, 구한 확률 $\displaystyle \frac23$을 백분율로 바꾼 뒤 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 $\displaystyle 66.67\%$라고 답해야 한다. 예시답안과 채점기준의 $\displaystyle 0.67$은 확률값 $\displaystyle \frac23$을 먼저 반올림한 수이므로 문제에서 요구한 백분율의 답이 아니다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 2-2]2022년 균형조건은 $\displaystyle 1-Q=Q+tQ$이며, 이를 풀면 $\displaystyle Q_{2023}=\frac1{2+t}$를 얻는다.Correction. 첫 번째 $\displaystyle Q_{2023}$은 $\displaystyle Q_{2022}$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.2023년의 균형조건은 $\displaystyle Q_{2022}-Q=Q+tQ$이며, 이를 풀면 $\displaystyle Q_{2023}=\frac{Q_{2022}}{2+t}=\frac1{(2+t)^2}$을 얻는다. 수학적 귀납법을 적용하면 2030년의 균형수량은 $\displaystyle Q_{2030}=\frac1{(2+t)^9}$이 되는 것을 알 수 있다.이 값이 0.001원이 되도록 하는 $\displaystyle t$의 값을 구하기 위해서는 다음 방정식을 풀어야 한다: $\displaystyle \frac1{(2+t)^9}=0.001$.Correction. $\displaystyle Q$는 수량이므로 단위 ‘원’은 붙이지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \sqrt[9]{0.001}\approx0.464$인 점을 활용하면 $\displaystyle \frac1{2+t}\approx0.464$로 쓸 수 있고, 소수점 아래 세 자리에서 반올림하여 얻게 되는 값은 $\displaystyle t=0.16$이다.Comment. 주어진 근삿값 0.464를 이용하면 $\displaystyle t\approx0.15517$이므로 0.16이다. 정확한 값을 사용했을 때와 반올림 결과가 달라질 수 있다.

[문제 2-3]근로자가 열심히 일할 경우 80%의 확률로 고수입이 발생하여 $\displaystyle w_H$의 임금을 얻고, 20%의 확률로 저수입이 발생하여 $\displaystyle w_L$만큼의 임금을 얻는다. 근로자가 태업할 경우 40%의 확률로 고수입이 발생하여 $\displaystyle w_H$의 임금을 얻고, 60%의 확률로 저수입이 발생하여 $\displaystyle w_L$만큼의 임금을 얻는다. 그리고 근로자는 열심히 일할 경우 5만큼의 비용이 들며, 태업할 경우 3만큼의 비용이 든다. 따라서 근로자가 열심히 일할 경우 효용의 기댓값은 $\displaystyle 0.8\times(w_H-5)+0.2\times(w_L-5)$이며, 태업할 경우 효용의 기댓값은 $\displaystyle 0.4\times(w_H-3)+0.6\times(w_L-3)$이다.사장 입장에서 근로자가 열심히 일하도록 유도하려면 사장이 제안하는 $\displaystyle w_H$와 $\displaystyle w_L$가 $\displaystyle 0.8\times(w_H-5)+0.2\times(w_L-5)\ge0.4\times(w_H-3)+0.6\times(w_L-3)$을 만족해야 한다. 이 식을 간단히 하면 $\displaystyle 0.4\times w_H-0.4\times w_L\ge2$가 된다. 이 부등식을 ‘식(1)’이라고 하자. 또한 근로자가 다른 일을 하지 않고 이 가게에서 일하도록 하려면 이 가게에서 일하면서 얻는 효용이 3 이상이어야 한다. 즉 다른 일을 하지 않고 이 가게에서 열심히 일하도록 유도하려면 $\displaystyle 0.8\times(w_H-5)+0.2\times(w_L-5)\ge3$이 성립해야 한다. 이 식을 간단히 하면 $\displaystyle 0.8\times w_H+0.2\times w_L\ge8$이 된다. 이 부등식을 ‘식(2)’라고 하자. 우선 ‘식(1)’에서 $\displaystyle w_L\le w_H-5$이며 ‘식(2)’에서 $\displaystyle w_L\ge40-4\times w_H$이므로 $\displaystyle 40-4\times w_H\le w_H-5$, 즉 $\displaystyle w_H\ge9$이며, $\displaystyle 40-4\times w_H\le w_L\le w_H-5$인 영역에서 ‘식(1)’과 ‘식(2)’를 동시에 만족시키는 $\displaystyle w_H$와 $\displaystyle w_L$의 조합들이 있다는 것을 알 수 있다. ($\displaystyle w_L$가 0 이상의 값을 가지기 위해서는 엄밀하게는 $\displaystyle 9\le w_H\le10$이며 $\displaystyle 40-4\times w_H\le w_L\le w_H-5$인 영역)Comment. $\displaystyle w_L\ge0$만으로 $\displaystyle w_H\le10$을 얻을 수는 없다. $\displaystyle 9\le w_H\le10$은 기대이윤이 최대가 되는 조합에 적용되는 범위이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.근로자가 열심히 일할 경우 사장의 기대이윤은 $\displaystyle 0.8\times(100-w_H)+0.2\times(40-w_L)$이며, 이를 간단히 하면 $\displaystyle 88-(0.8\times w_H+0.2\times w_L)$이다. 그런데 ‘식(2)’에 따라 $\displaystyle 0.8\times w_H+0.2\times w_L\ge8$이기 때문에 $\displaystyle 88-(0.8\times w_H+0.2\times w_L)\le80$이 성립한다. 즉 사장이 얻을 수 있는 기대이윤의 최댓값은 80이며, 이는 ‘식(2)’가 등식으로 성립하는 경우, 즉 $\displaystyle 0.8\times w_H+0.2\times w_L=8$인 경우이다. ‘식(1)’에서 $\displaystyle 0.4\times w_H-0.4\times w_L\ge2$이며 따라서 $\displaystyle w_H$와 $\displaystyle w_L$의 차가 최소가 되는 경우는 $\displaystyle 0.4\times w_H-0.4\times w_L=2$이다. $\displaystyle 0.8\times w_H+0.2\times w_L=8$과 $\displaystyle 0.4\times w_H-0.4\times w_L=2$를 동시에 풀면 $\displaystyle w_H=9,\ w_L=4$가 된다.