자연계열 1번

[문제 1-1] 답: $\displaystyle \frac56+\frac{\sqrt2}{12}$

점 P가 원 위에 있으므로 $\displaystyle \mathrm P(\cos\theta,\sin\theta)$로 나타낼 수 있다. ($\displaystyle 0\le\theta\le2\pi$)$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2=(\cos\theta-(-2))^2+(\sin\theta-(-1))^2=6+4\cos\theta+2\sin\theta$이고,$\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}^2=\cos^2\theta+(\sin\theta-(-1))^2=2+2\sin\theta$이다.따라서 $\displaystyle f(\theta)=\overline{\mathrm{PA}}^2+\overline{\mathrm{PB}}^2=8+4(\cos\theta+\sin\theta)$이다.$\displaystyle f(\theta)$가 최솟값을 가질 때 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0$이거나 $\displaystyle \theta=0$ 또는 $\displaystyle 2\pi$이다.$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=4(-\sin\theta+\cos\theta)=0$을 풀면, $\displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=1$이다. 이 때 $\displaystyle \theta=\frac\pi4,\frac{5\pi}4$이다.$\displaystyle \theta$의 닫힌구간 $\displaystyle [0,2\pi]$에서 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=4(-\sin\theta+\cos\theta)$의 부호를 조사하여 $\displaystyle \theta=\frac{5\pi}4$일 때 $\displaystyle f(\theta)$가 극솟값을 갖는 것을 알 수 있다.$\displaystyle f\left(\frac{5\pi}4\right)=8-4\sqrt2,f(0)=f(2\pi)=12$이므로 $\displaystyle f(\theta)$는 $\displaystyle \theta=\frac{5\pi}4$일 때 최솟값을 갖는다.$\displaystyle \theta=\frac{5\pi}4$일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2=6+4\cos\theta+2\sin\theta=6-3\sqrt2$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}\cos\alpha=\cos\theta-(-2)=2-\frac{\sqrt2}2$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2\cos^2\alpha=\frac92-2\sqrt2$이다.따라서 $\displaystyle \cos^2\alpha=\left(\frac92-2\sqrt2\right)\cdot\frac1{6-3\sqrt2}=\frac{9-4\sqrt2}2\cdot\frac{2+\sqrt2}6=\frac56+\frac{\sqrt2}{12}$이다.

[문제 1-2] 답: $\displaystyle \frac{\sqrt{15}}4$

점 O에서 직선 $\displaystyle l$에 내린 수선의 발을 D, 수선의 길이를 $\displaystyle a$라 하자. 직각삼각형 ADO를 이용하여 $\displaystyle a=3\sin\theta$를 얻는다.원의 반지름이 2이므로 $\displaystyle S=\int_a^22\sqrt{4-x^2}\,dx=-\int_2^a2\sqrt{4-x^2}\,dx$이다.합성함수의 미분법으로부터 $\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=\frac{dS}{da}\cdot\frac{da}{d\theta}$를 얻는다.$\displaystyle S=-\int_2^a2\sqrt{4-x^2}\,dx$이므로 미적분의 기본정리로부터 $\displaystyle \frac{dS}{da}=-2\sqrt{4-a^2}$을 얻는다.$\displaystyle a=3\sin\theta$으로부터 $\displaystyle \frac{da}{d\theta}=3\cos\theta$를 얻는다.따라서 $\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=-2\sqrt{4-a^2}\cdot3\cos\theta=-2\sqrt{4-9\sin^2\theta}\cdot3\cos\theta$이다.$\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$이므로 $\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=-6\sqrt{9\cos^2\theta-5}\cdot\cos\theta$이다.$\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=-5\sqrt3$이므로 $\displaystyle -6\sqrt{9\cos^2\theta-5}\cdot\cos\theta=-5\sqrt3$이다.따라서 $\displaystyle 12(9\cos^2\theta-5)\cdot\cos^2\theta=25$이다.$\displaystyle t=\cos^2\theta$라 하면 $\displaystyle 12(9t-5)t=25$이다.정리하여 $\displaystyle t$에 대한 이차방정식 $\displaystyle 108t^2-60t-25=0$을 얻는다.$\displaystyle t>0$이므로, 이차방정식을 풀면 $\displaystyle t=\frac56$이다.$\displaystyle \theta$가 예각이므로 $\displaystyle \cos\theta>0$이고, 따라서 $\displaystyle \cos\theta=\sqrt t=\sqrt{\frac56}$이다.이 때 $\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\frac56}=\sqrt{\frac16}$이고 $\displaystyle a=3\sin\theta=\frac{\sqrt6}2$이다.직각삼각형 BDO를 이용하여 $\displaystyle \cos\frac\alpha2=\frac a2=\frac{\sqrt6}4$을 얻는다. 이 때 $\displaystyle \sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt{10}}4$이다.삼각함수의 덧셈정리로부터$\displaystyle \sin\alpha=\sin\left(\frac\alpha2+\frac\alpha2\right)=\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2+\cos\frac\alpha2\sin\frac\alpha2=2\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2$이다.따라서 $\displaystyle \sin\alpha=2\cdot\frac{\sqrt{10}}4\cdot\frac{\sqrt6}4=\frac{\sqrt{15}}4$이다.