자연계열 2번

[문제 2-1] 답: $\displaystyle \frac{192-96\sqrt3}5$

정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 $\displaystyle a$라 하자.삼각형 ACR과 삼각형 ABP에 사인법칙을 적용하면$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AR}}}{\overline{\mathrm{AC}}}=\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin120^\circ},\quad\frac{\overline{\mathrm{AP}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{\sin\alpha}{\sin120^\circ}$삼각함수의 덧셈정리를 적용하면,$\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=\frac2{\sqrt3}a\left(\frac{\sqrt3}2\cos\alpha-\frac12\sin\alpha\right),\overline{\mathrm{AP}}=\frac2{\sqrt3}a\sin\alpha$이로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}=\overline{\mathrm{AR}}-\overline{\mathrm{AP}}=a(\cos\alpha-\sqrt3\sin\alpha)$$\displaystyle \tan\alpha=\frac13$이므로 $\displaystyle \cos\alpha=\frac3{\sqrt{10}},\sin\alpha=\frac1{\sqrt{10}}$이다. 이를 이용하여 정삼각형 ABC와 PQR의 닮음비를 구하면$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PR}}}a=\cos\alpha-\sqrt3\sin\alpha=\frac{3-\sqrt3}{\sqrt{10}}$따라서 삼각형 PQR의 넓이는 삼각형 ABC의 넓이의 $\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt3}{\sqrt{10}}\right)^2$배이다.그러므로 삼각형 PQR의 넓이는 $\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt3}{\sqrt{10}}\right)^2\times32=\frac{192-96\sqrt3}5$이다.

[문제 2-2] 답: $\displaystyle \frac{15}{77}\sqrt7$

$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}=x,\overline{\mathrm{PB}}=y,\overline{\mathrm{PC}}=z$라 하자.삼각형 PAB, PBC, PCA에 코사인법칙을 적용하면,$\displaystyle x^2=y^2+16-8y\cos\alpha,\ y^2=z^2+25-10z\cos\alpha,\ z^2=x^2+36-12x\cos\alpha$이 세 식을 더하고 정리하면$\displaystyle 2(6x+4y+5z)\cos\alpha=77$이고 따라서 $\displaystyle \cos\alpha=\frac{77}{2(6x+4y+5z)}$이다.삼각형 ABC의 넓이 $\displaystyle S$는 세 삼각형 PAB, PBC, PCA의 넓이의 합과 같으므로$\displaystyle S=\frac12(6x+4y+5z)\sin\alpha$이고 따라서 $\displaystyle \sin\alpha=\frac{2S}{6x+4y+5z}$이다.따라서 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{4S}{77}$ ............ (1)삼각형 ABC에 코사인법칙을 적용하면,$\displaystyle \cos A=\frac{6^2+4^2-5^2}{2\times6\times4}=\frac9{16}$이다. 이로부터 $\displaystyle \sin A=\frac{5\sqrt7}{16}$임을 알 수 있다.따라서 $\displaystyle S=\frac12\times4\times6\times\sin A=\frac{15}4\sqrt7$이다.이를 (1)에 대입하면 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{15}{77}\sqrt7$이다.