수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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건국대 2022학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2022mo/jayeon_2

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수학 제시문 2

(가) 삼각형 ABC에서 a=BC‾,b=CA‾,c=AB‾\displaystyle a=\overline{\mathrm{BC}},b=\overline{\mathrm{CA}},c=\overline{\mathrm{AB}}라 하고 외접원의 반지름의 길이를 R\displaystyle R이라고 하면asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\displaystyle \frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R이다. 이것을 사인법칙이라고 한다. 또한a2=b2+c2−2bccos⁡A\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos Ab2=c2+a2−2cacos⁡B\displaystyle b^2=c^2+a^2-2ca\cos Bc2=a2+b2−2abcos⁡C\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos C이고 이것을 코사인법칙이라고 한다.

(나) [그림 3]은 넓이가 32인 정삼각형 ABC를 나타낸 것이다. 정삼각형 ABC의 변 BC, CA, AB 위에 있는 점 D, E, F가 ∠CAD=∠ABE=∠BCF=α\displaystyle \angle\mathrm{CAD}=\angle\mathrm{ABE}=\angle\mathrm{BCF}=\alpha를 만족한다. 선분 AD와 BE의 교점을 P, 선분 BE와 CF의 교점을 Q, 선분 CF와 AD의 교점을 R이라 하면 삼각형 PQR은 정삼각형이다.

(다) [그림 4]는 AB‾=4,BC‾=5,CA‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=4,\overline{\mathrm{BC}}=5,\overline{\mathrm{CA}}=6인 삼각형 ABC를 나타낸 것이다. 점 P는 삼각형 ABC 내부에 있는 점이고 ∠PAC=∠PBA=∠PCB=α\displaystyle \angle\mathrm{PAC}=\angle\mathrm{PBA}=\angle\mathrm{PCB}=\alpha를 만족한다.

그림 3의 정삼각형과 그림 4의 삼각형 내부 점 P

[문제 2-1] (서술형): [그림 3]에서 tan⁡α=13\displaystyle \tan\alpha=\frac13일 때, 삼각형 PQR의 넓이를 구하시오. 풀이 과정도 함께 쓰시오.

[문제 2-2] (서술형): [그림 4]에서 tan⁡α\displaystyle \tan\alpha의 값을 구하시오. 풀이 과정도 함께 쓰시오.

해설강의 준비중

건국대 2022학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2022mo/jayeon_2

[문제 2-1] 답: 192−9635\displaystyle \frac{192-96\sqrt3}5

정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 a\displaystyle a라 하자.삼각형 ACR과 삼각형 ABP에 사인법칙을 적용하면AR‾AC‾=sin⁡(60∘−α)sin⁡120∘,AP‾AB‾=sin⁡αsin⁡120∘\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AR}}}{\overline{\mathrm{AC}}}=\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin120^\circ},\quad\frac{\overline{\mathrm{AP}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{\sin\alpha}{\sin120^\circ}삼각함수의 덧셈정리를 적용하면,AR‾=23a(32cos⁡α−12sin⁡α),AP‾=23asin⁡α\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=\frac2{\sqrt3}a\left(\frac{\sqrt3}2\cos\alpha-\frac12\sin\alpha\right),\overline{\mathrm{AP}}=\frac2{\sqrt3}a\sin\alpha이로부터 PR‾=AR‾−AP‾=a(cos⁡α−3sin⁡α)\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}=\overline{\mathrm{AR}}-\overline{\mathrm{AP}}=a(\cos\alpha-\sqrt3\sin\alpha)tan⁡α=13\displaystyle \tan\alpha=\frac13이므로 cos⁡α=310,sin⁡α=110\displaystyle \cos\alpha=\frac3{\sqrt{10}},\sin\alpha=\frac1{\sqrt{10}}이다. 이를 이용하여 정삼각형 ABC와 PQR의 닮음비를 구하면PR‾a=cos⁡α−3sin⁡α=3−310\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PR}}}a=\cos\alpha-\sqrt3\sin\alpha=\frac{3-\sqrt3}{\sqrt{10}}따라서 삼각형 PQR의 넓이는 삼각형 ABC의 넓이의 (3−310)2\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt3}{\sqrt{10}}\right)^2배이다.그러므로 삼각형 PQR의 넓이는 (3−310)2×32=192−9635\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt3}{\sqrt{10}}\right)^2\times32=\frac{192-96\sqrt3}5이다.

[문제 2-2] 답: 15777\displaystyle \frac{15}{77}\sqrt7

PA‾=x,PB‾=y,PC‾=z\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}=x,\overline{\mathrm{PB}}=y,\overline{\mathrm{PC}}=z라 하자.삼각형 PAB, PBC, PCA에 코사인법칙을 적용하면,x2=y2+16−8ycos⁡α, y2=z2+25−10zcos⁡α, z2=x2+36−12xcos⁡α\displaystyle x^2=y^2+16-8y\cos\alpha,\ y^2=z^2+25-10z\cos\alpha,\ z^2=x^2+36-12x\cos\alpha이 세 식을 더하고 정리하면2(6x+4y+5z)cos⁡α=77\displaystyle 2(6x+4y+5z)\cos\alpha=77이고 따라서 cos⁡α=772(6x+4y+5z)\displaystyle \cos\alpha=\frac{77}{2(6x+4y+5z)}이다.삼각형 ABC의 넓이 S\displaystyle S는 세 삼각형 PAB, PBC, PCA의 넓이의 합과 같으므로S=12(6x+4y+5z)sin⁡α\displaystyle S=\frac12(6x+4y+5z)\sin\alpha이고 따라서 sin⁡α=2S6x+4y+5z\displaystyle \sin\alpha=\frac{2S}{6x+4y+5z}이다.따라서 tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=4S77\displaystyle \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{4S}{77} ............ (1)삼각형 ABC에 코사인법칙을 적용하면,cos⁡A=62+42−522×6×4=916\displaystyle \cos A=\frac{6^2+4^2-5^2}{2\times6\times4}=\frac9{16}이다. 이로부터 sin⁡A=5716\displaystyle \sin A=\frac{5\sqrt7}{16}임을 알 수 있다.따라서 S=12×4×6×sin⁡A=1547\displaystyle S=\frac12\times4\times6\times\sin A=\frac{15}4\sqrt7이다.이를 (1)에 대입하면 tan⁡α=15777\displaystyle \tan\alpha=\frac{15}{77}\sqrt7이다.

문항채점 기준배점
[문제 2-1]F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음 E: 삼각형 ACR과 삼각형 ABP에 사인법칙을 적용함 D: 사인법칙을 이용하여 AR‾=23a(32cos⁡α−12sin⁡α)\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=\frac2{\sqrt3}a\left(\frac{\sqrt3}2\cos\alpha-\frac12\sin\alpha\right)과 AP‾=23asin⁡α\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\frac2{\sqrt3}a\sin\alpha 중 하나를 구함 C: 사인법칙을 이용하여 PR‾=a(cos⁡α−3sin⁡α)\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}=a(\cos\alpha-\sqrt3\sin\alpha)를 구함 B: C와 더불어 cos⁡α=310\displaystyle \cos\alpha=\frac3{\sqrt{10}}과 sin⁡α=110\displaystyle \sin\alpha=\frac1{\sqrt{10}} 중 하나를 구함 B+: B와 더불어 PR‾a=3−310\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PR}}}a=\frac{3-\sqrt3}{\sqrt{10}}를 구함 A: B+와 더불어 삼각형 PQR의 넓이는 삼각형 ABC의 넓이의 (3−310)2\displaystyle \left(\frac{3-\sqrt3}{\sqrt{10}}\right)^2배임을 구함 A+: A와 더불어 삼각형 PQR의 넓이 192−9635\displaystyle \frac{192-96\sqrt3}5임을 구함20
[문제 2-2]F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음 E: 삼각형 PAB, PBC, PCA에 코사인법칙을 적용함 D: 코사인법칙을 이용하여 cos⁡α=772(6x+4y+5z)\displaystyle \cos\alpha=\frac{77}{2(6x+4y+5z)}과 sin⁡α=2S6x+4y+5z\displaystyle \sin\alpha=\frac{2S}{6x+4y+5z} 중 하나를 구함 C: D와 더불어 tan⁡α=4S77\displaystyle \tan\alpha=\frac{4S}{77}를 구함 B: C와 더불어 cos⁡A=916\displaystyle \cos A=\frac9{16}을 구함 B+: B와 더불어 sin⁡A=5716\displaystyle \sin A=\frac{5\sqrt7}{16}을 구함 A: B+와 더불어 S=1547\displaystyle S=\frac{15}4\sqrt7을 구함 A+: A와 더불어 tan⁡α=15777\displaystyle \tan\alpha=\frac{15}{77}\sqrt7를 구함25

※ 하위 문항에 따라 칸을 나누어 채점 기준과 배점을 작성하고 필요한 경우 채점 시 유의사항을 추가함

※ 채점 기준은 문항의 출제 의도에 대한 평가를 위한 것이어야 함

※ 위와 같이 채점하여 득점을 산출한 후, 700점 만점 기준으로 환산함

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