자연계열 4번

(4-1) 조사결과를 보면 1992년 5월부터 9월까지 4개월 동안에 4배로 증가하였고, 1992년 9월부터 1993년 3월까지 6개월 동안에 8배로 증가하였다.계속 같은 증가율로 증가한다고 하였으므로 4개월 동안에 4배로 증가하고 2개월 동안에 2배로 증가하여 6개월 동안에 8배로 증가하였다는 것을 알 수 있다.토끼의 수가 2개월마다 2배로 증가하므로 2개월 전마다 1/2로 감소한다.토끼의 수는 자연수이므로 2개월 전마다 500→250→125→63→32→16→8→4로 감소한다.그러므로 두 쌍을 처음 풀어놓은 것은 1992년 5월부터 2개월씩 7번 즉 14개월 전인 1991년 3월이다.

(4-2) 1992년 5월을 $\displaystyle t=t_0$라 하고 시간 $\displaystyle t$를 2개월 단위로 생각하면1992년 9월은 $\displaystyle t=t_0+2$, 1993년 3월은 $\displaystyle t=t_0+5$이므로$\displaystyle R(t)=ka^t$에서$\displaystyle ka^{t_0}=500$ ⋯①$\displaystyle ka^{t_0+2}=2000$ ⋯②$\displaystyle ka^{t_0+5}=16000$ ⋯③①, ②, ③을 연립하여 풀면②÷①에서 $\displaystyle a^2=4$, $\displaystyle a=2$$\displaystyle t=0$일 때 토끼 두 쌍(4마리)으로 시작되었으므로 $\displaystyle k2^0=k=4$$\displaystyle R(t)=4\times2^t$

(4-3) 문제 (4-2)의 모델을 계속 적용하면 2개월 마다 2배씩 증가하므로 1년에 6번, 10년에 60번, 20년에는 120번 2배씩 증가한다.따라서 $\displaystyle t=120$을 대입하면 $\displaystyle R(120)=4\times2^{120}=4\times(2^{10})^{12}=4\times10^{36}$$\displaystyle 4\times10^{36}$마리의 토끼들을 정사각형 모양으로 가로와 세로로 줄을 맞추어 정렬시킨다고 하면 한 줄에 $\displaystyle 2\times10^{18}$마리씩 $\displaystyle 2\times10^{18}$줄이 된다.지구의 적도에서 북극까지의 거리가 $\displaystyle 10000\mathrm{km}=10^4\mathrm{km}=10^7\mathrm{m}=10^9\mathrm{cm}$이므로 그렇게 많은 토끼들이 지구상에 존재할 수 없다.따라서 모델 $\displaystyle R(t)=ka^t$이 현재까지 계속 적용될 수는 없다.