약학과 1번

[1-1]$\displaystyle b^2=a^2-c^2$라고 놓자.$\displaystyle a>c>0$이므로, 장축의 길이는 $\displaystyle 2a$, 단축의 길이는 $\displaystyle 2b$인 타원이고,타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$이다.기울기가 $\displaystyle m$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=mx+n$라 놓자.

직선의 방정식 $\displaystyle y=mx+n$을 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$에 대입하여 정리하면$\displaystyle (a^2m^2+b^2)x^2+2a^2mnx+a^2(n^2-b^2)=0\;\text{-------①}$이다.$\displaystyle x$에 대한 이차방정식 ①의 판별식을 $\displaystyle D$라 하자.타원과 직선의 교점의 개수는 $\displaystyle x$에 대한 이차방정식 ①의 서로 다른 실근의 개수와 같기 때문에, 타원과 직선의 위치관계는$\displaystyle D>0$이면 서로 다른 두 점에서 만나고$\displaystyle D=0$이면 한 점에서 접하고$\displaystyle D<0$이면 만나지 않는다.

[1-2]단계1.이차방정식 (*)의 판별식 $\displaystyle D$를 구하면 $\displaystyle D=4a^2b^2(a^2m^2+b^2-n^2)$이다.

단계2.$\displaystyle a\ne0,b\ne0$이므로,접선의 방정식을 구하기 위해 $\displaystyle D=0$을 사용하면 $\displaystyle a^2m^2+b^2-n^2=0$이 성립한다.이를 $\displaystyle n$에 대하여 정리하면, $\displaystyle n=\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$이다.그러므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$이다.

[1-3]단계1.한 점을 $\displaystyle \mathrm{P}(x_1,y_1)$라 놓는다. $\displaystyle \mathrm{P}(x_1,y_1)$에서 타원에 그은 접선의 기울기를 $\displaystyle m$이라고 하면 [1-2]의 타원의 접선의 방정식에 의하여, $\displaystyle y_1=mx_1\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$이 성립한다.단계2.이를 $\displaystyle m$에 대해서 정리하면 $\displaystyle (x_1^2-a^2)m^2-2x_1y_1m+y_1^2-b^2=0\;\text{-------②}$이 된다.조건을 만족하는 기울기 $\displaystyle m$은 $\displaystyle m$에 대한 이차방정식 ②의 두 해가 된다.

단계3.이때, 두 접선이 서로 수직이므로, 두 직선의 기울기의 곱은 -1이다.이차방정식의 근과 계수와의 관계식에 의해 $\displaystyle m$에 대한 이차방정식 ②에서$\displaystyle \frac{y_1^2-b^2}{x_1^2-a^2}=-1$이 성립한다. 즉, $\displaystyle x_1^2+y_1^2=a^2+b^2$이 성립한다.Caution. 직선의 기울기를 이용할 때는 $\displaystyle y$축에 평행한 경우를 따로 다루어야 한다: 기울기의 곱을 $\displaystyle -1$로 두면 수직접선인 경우가 빠진다. $\displaystyle x=\pm a$와 $\displaystyle y=\pm b$의 네 교점도 조건을 만족하며 모두 $\displaystyle x^2+y^2=a^2+b^2$ 위에 있다. 따라서 이 경우를 추가해도 최종 자취는 같다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로 조건을 만족하는 점 P의 자취의 방정식은$\displaystyle x^2+y^2=a^2+b^2$이다.

[1-4]단계1.주어진 조건을 만족하는 직선의 방정식은 $\displaystyle x+y=10$이고 타원의 방정식은 $\displaystyle x^2+\frac{y^2}4=1$이다.

단계2.직선과 타원의 거리의 최솟값은 직선과 기울기가 같고 타원에 접하는 접선과 직선의 거리와 같다.

단계3.직선과 기울기가 같은 접선, 즉 기울기가 -1이 되는 접선을 구하기 위해타원에 대한 접선의 방정식 공식을 이용하면, 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-x+\sqrt5$이다.

단계4.직선과 접선의 거리를 구하기 위해, 직선 위의 한 점 $\displaystyle (0,10)$을 생각한다.이 점에서 접선 $\displaystyle y=-x+\sqrt5$까지의 거리는 한 점에서 직선까지의 거리 공식을 이용하여 구한다. 즉,$\displaystyle \frac{|0+\sqrt5-10|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{10-\sqrt5}{\sqrt2}=5\sqrt2-\frac{\sqrt{10}}2$이다.그러므로 거리의 최솟값은 $\displaystyle 5\sqrt2-\frac{\sqrt{10}}2$이다.