수리논술, 이게 다다.

약학과 3번

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고려대 세종캠퍼스 2022학년도 모의논술 약학과 3번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2022mo/yak_3

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문제

3. 다음 제시문 <가>~<마>를 읽고 물음에 답하시오.

<가>연속확률변수 X\displaystyle X가 모든 실수값을 가지고, 그 확률밀도함수 f(x)\displaystyle f(x)가 두 상수 m,σ2  (σ>0)\displaystyle m,\sigma^2\;(\sigma>0)에 대하여f(x)=12πσe−(x−m)22σ2\displaystyle f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}일 때, 확률변수 X\displaystyle X의 확률분포를 정규분포라 하고, 기호로 N(m,σ2)\displaystyle \mathrm{N}(m,\sigma^2)과 같이 나타낸다.

<나>확률변수 X\displaystyle X가 정규분포 N(m,σ2)\displaystyle \mathrm{N}(m,\sigma^2)을 따를 때, 확률변수 Z=X−mσ\displaystyle Z=\frac{X-m}\sigma은 표준정규분포 N(0,1)\displaystyle \mathrm{N}(0,1)을 따른다. 이 때 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에 확률변수 X\displaystyle X가 속할 확률은 다음과 같다.P(a≤X≤b)=P(a−mσ≤Z≤b−mσ)\displaystyle \mathrm{P}(a\le X\le b)=\mathrm{P}\left(\frac{a-m}\sigma\le Z\le\frac{b-m}\sigma\right)

<다>표준정규분포 N(0,1)\displaystyle \mathrm{N}(0,1)을 따르는 확률변수 Z\displaystyle Z의 확률분포표는 다음과 같다.

z\displaystyle zP(0≤Z≤z)\displaystyle \mathrm{P}(0\le Z\le z)
0.50.192
1.00.341
1.20.385
1.280.400
1.40.419
1.50.433
1.60.445
1.650.450
1.80.464
1.960.475
2.00.477
2.330.490
2.50.494
2.580.495
3.00.499

<라>한 번의 시행에서 어떤 사건 A\displaystyle A가 일어날 확률이 p\displaystyle p, 일어나지 않을 확률이 q(=1−p)\displaystyle q(=1-p)라 하자. n\displaystyle n번의 독립시행에서 사건 A\displaystyle A가 일어나는 횟수를 확률변수 X\displaystyle X라 할 때, X\displaystyle X의 확률분포를 이항분포라 하고, 기호로 B(n,p)\displaystyle \mathrm{B}(n,p)와 같이 나타낸다. 이 때, 이항분포 B(n,p)\displaystyle \mathrm{B}(n,p)를 따르는 이산확률변수 X\displaystyle X의 확률질량함수는 P(X=x)=nCx pxqn−x\displaystyle P(X=x)={}_{n}\mathrm{C}_x\,p^xq^{n-x}이다.

<마>이항분포 B(n,p)\displaystyle \mathrm{B}(n,p)의 확률은 n\displaystyle n이 클 때 계산하기 매우 어렵고 계산기를 이용해도 쉽지 않다. 그러나 다음의 이항분포와 정규분포 사이의 관계를 이용하면 이항분포의 확률을 근사적으로 쉽게 구할 수 있음을 알려져 있다.(이항분포와 정규분포의 관계)확률변수 X\displaystyle X가 이항분포 B(n,p)\displaystyle \mathrm{B}(n,p)를 따를 때, n\displaystyle n이 충분히 크면 X\displaystyle X는 근사적으로 정규분포 N(np,npq)\displaystyle \mathrm{N}(np,npq)를 따른다. (단 q=1−p\displaystyle q=1-p)

3-1. 고려 제약회사가 새로운 COVID19 중증환자 대상 치료제를 개발하여 식약처 사용승인을 받았다. 이 치료제를 처방하여 환자가 완치될 확률은 80%이다. 이 치료제를 처치하는데 환자 한 명당 1,000만 원의 비용이 발생하지만 만약 완치된다면 정부로부터 한 명당 2,000만 원의 보상을 받을 수 있다. 이 치료제를 처방받은 환자 한 명의 완치여부를 나타내는 확률변수를 X\displaystyle X라 할 때 확률변수 X\displaystyle X는 이항분포를 따른다. 이 환자를 치료함으로써 제약회사가 얻을 수 있는 기대 수익(보상금-치료비용)을 확률변수 Y\displaystyle Y(단위 만원)라 할 때 Y=aX+b\displaystyle Y=aX+b로 표현할 수 있다(이때 a,b\displaystyle a,b는 상수이다). 상수 a\displaystyle a와 b\displaystyle b를 구하고, 확률변수 Y\displaystyle Y의 기댓값과 표준편차를 구하시오. [20점]

3-2. 이 제약회사는 100명의 환자를 대상으로 하여 이 치료제를 처방하기로 하였다. 한 명에 대한 치료비용과 정부로부터 제공되는 보상비용은 각각 1,000만 원과 2,000만 원으로 동일하다. 확률변수 W\displaystyle W는 100명의 환자 가운데 치료된 환자의 수를 나타내는 확률변수이고 이항분포를 따른다. 이 100명을 치료하였을 때 회사의 기대수익을 S\displaystyle S(단위 만원)라 할 때 S=cW+d\displaystyle S=cW+d로 표현되는 확률변수이다. 상수 c\displaystyle c와 d\displaystyle d를 구하고 확률변수 S\displaystyle S의 기댓값과 표준편차를 구하시오. [20점]

3-3. 문제 3-2에서 구한 이항분포를 따르는 확률변수 W\displaystyle W는 표본의 수가 클 때 근사적으로 정규분포를 따른다. 제시문 <가>를 이용하여 확률변수 S\displaystyle S도 정규분포를 따름을 논술하시오. [20점]

3-4. 고려 제약회사는 이 치료제를 개발하는데 5억 2천만 원을 투자하였다. 문제 3-2의 결과를 활용하여 이 회사가 100명의 환자를 치료하였을 때 투자금액인 5억 2천만 원보다 더 많은 수익을 낼 확률을 제시문 <다>의 표를 활용하여 구하시오. [20점]

3-5. 고려 제약회사가 COVID19 중증환자 치료제를 사용함으로써 정부로부터 더 많은 보상을 받게 된다면 신약개발에 투자한 금액인 5억 2천만 원보다 높은 수익을 얻게 될 것이다. 만약 5억 2천만 원보다 더 많은 수익을 낼 확률이 95% 이상이 되려면 정부로부터 받아야 하는 보상금은 최소 얼마가 되어야 하는지 서술하시오(단, 만 원 이하의 금액은 올림 함). [30점]

해설강의 준비중

고려대 세종캠퍼스 2022학년도 모의논술 약학과 3번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2022mo/yak_3

+6점 · Y=2000X−1000\displaystyle Y=2000X-1000이고 여기에서 X\displaystyle X는 B(1,0.8)\displaystyle \mathrm{B}(1,0.8)을 따르는 확률변수이다.

[3-1]Y=2000×X−1000\displaystyle Y=2000\times X-1000이고 여기에서 X\displaystyle X는 B(1,0.8)\displaystyle \mathrm{B}(1,0.8)을 따르는 확률변수이다.

+4점

상수 a\displaystyle a와 b\displaystyle b의 값은 a=2000\displaystyle a=2000, b=−1000\displaystyle b=-1000이다.

+4점

E(X)=1×0.8=0.8\displaystyle \mathrm{E}(X)=1\times0.8=0.8, V(X)=1×0.8×0.2=0.16\displaystyle \mathrm{V}(X)=1\times0.8\times0.2=0.16

+6점 · E(Y)=2000E(X)−1000=2000×0.8−1000=600\displaystyle \mathrm{E}(Y)=2000\mathrm{E}(X)-1000=2000\times0.8-1000=600 V(Y)=a2V(X)=20002×0.16=(2000×0.4)2\displaystyle \mathrm{V}(Y)=a^2\mathrm{V}(X)=2000^2\times0.16=(2000\times0.4)^2 즉 V(Y)=800\displaystyle \sqrt{\mathrm{V}(Y)}=800

E(Y)=2000×E(X)−1000=2000×0.8−1000=600\displaystyle \mathrm{E}(Y)=2000\times\mathrm{E}(X)-1000=2000\times0.8-1000=600V(Y)=a2×V(X)=20002×0.16=(2000×0.4)2\displaystyle \mathrm{V}(Y)=a^2\times\mathrm{V}(X)=2000^2\times0.16=(2000\times0.4)^2, 즉 V(Y)=800\displaystyle \sqrt{\mathrm{V}(Y)}=800

+6점 · S=2000W−100000\displaystyle S=2000W-100000이고 여기에서 W\displaystyle W는 B(100,0.8)\displaystyle \mathrm{B}(100,0.8)을 따르는 확률변수이다.

[3-2]S=2000×W−100000\displaystyle S=2000\times W-100000이고 여기에서 W\displaystyle W는 B(100,0.8)\displaystyle \mathrm{B}(100,0.8)을 따르는 확률변수이다.

+4점

상수 c\displaystyle c와 d\displaystyle d의 값은 c=2000\displaystyle c=2000, d=−1000×100=−100000\displaystyle d=-1000\times100=-100000이다.

+4점

E(W)=100×0.8=80\displaystyle \mathrm{E}(W)=100\times0.8=80, V(W)=100×0.8×0.2=16\displaystyle \mathrm{V}(W)=100\times0.8\times0.2=16

+6점

E(S)=2000×E(W)−100000=2000×80−100000=60000\displaystyle \mathrm{E}(S)=2000\times\mathrm{E}(W)-100000=2000\times80-100000=60000V(S)=c2×V(W)=20002×16=(2000×4)2\displaystyle \mathrm{V}(S)=c^2\times\mathrm{V}(W)=2000^2\times16=(2000\times4)^2, 즉 V(S)=σ(S)=8000\displaystyle \sqrt{\mathrm{V}(S)}=\sigma(S)=8000

+8점

[3-3]확률변수 W\displaystyle W는 [3-2]에서 보인 바와 같이 평균 80, 분산 16을 가진다. 이항분포의 정규분포로의 근사 성질에 따라 W\displaystyle W는 근사적으로 같은 평균과 분산을 가지는 정규분포를 따른다. 즉 W∼N(80,16)\displaystyle W\sim\mathrm{N}(80,16)이다.

+6점 · 그리고 S=2000×W−100000\displaystyle S=2000\times W-100000

그리고 S=2000×W−100000\displaystyle S=2000\times W-100000이다.

+6점 · 확률변수 S의 평균과 분산은 각각 6000, 80002\displaystyle 8000^2을 가지므로 확률변수 S\displaystyle S는 정규분포 N(6000,80002)\displaystyle \mathrm{N}(6000,8000^2)를 따른다.

정규분포를 따르는 확률변수의 선형변환 또한 정규분포를 따른다. 확률변수 S의 평균과 분산은 각각 6000, 80002\displaystyle 8000^2을 가지므로 확률변수 S\displaystyle S는 정규분포 S∼N(6000,80002)\displaystyle S\sim\mathrm{N}(6000,8000^2)를 따른다.Correction. 정규분포의 평균 6000은 60000의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점 · P(S≥52000)=P(S−E(S)σ(S)≥52000−E(S)σ(S))\displaystyle \mathrm{P}(S\ge52000)=\mathrm{P}\left(\frac{S-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\ge\frac{52000-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\right)
+5점 · P(S≥52000)=P(S−E(S)σ(S)≥52000−E(S)σ(S))≃P(Z≥52000−600008000)=P(Z≥−1)\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(S\ge52000)&=\mathrm{P}\left(\frac{S-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\ge\frac{52000-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\right)\\&\simeq\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{52000-60000}{8000}\right)\\&=\mathrm{P}(Z\ge-1)\end{aligned}
+5점

[3-4]P(S≥52000)=P(S−E(S)σ(S)≥52000−E(S)σ(S))≃P(Z≥52000−600008000)=P(Z≥−1)=0.5+0.341=0.841\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(S\ge52000)&=\mathrm{P}\left(\frac{S-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\ge\frac{52000-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\right)\\&\simeq\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{52000-60000}{8000}\right)\\&=\mathrm{P}(Z\ge-1)\\&=0.5+0.341=0.841\end{aligned}

+5점

이므로 84.1%의 확률로 제약회사가 얻는 수익이 5억 2000만 원보다 더 많다.

+4점

[3-5]A\displaystyle A를 치료된 환자 1명 당 정부 보상금 이라하면 제약회사가 얻는 수익은S=A×W−100000\displaystyle S=A\times W-100000의 형태가 된다.

+3점

여기에서E(S)=A×E(W)−100000=A×80−100000=80×A−100000\displaystyle \mathrm{E}(S)=A\times\mathrm{E}(W)-100000=A\times80-100000=80\times A-100000

+3점 · V(S)=A2×V(W)=A2×16\displaystyle \mathrm{V}(S)=A^2\times\mathrm{V}(W)=A^2\times16, S\displaystyle S의 표준편차는 V(S)=σ(S)=4×A\displaystyle \sqrt{\mathrm{V}(S)}=\sigma(S)=4\times A이다.

V(S)=A2×V(W)=A2×16\displaystyle \mathrm{V}(S)=A^2\times\mathrm{V}(W)=A^2\times16, S\displaystyle S의 표준편차는 V(S)=σ(S)=4A\displaystyle \sqrt{\mathrm{V}(S)}=\sigma(S)=4A이다.

+10점

Correction. 등호 오른쪽의 괄호도 확률을 뜻하므로 확률기호 P가 필요하다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

제약회사가 5억 2000만 원 이상의 수익을 95%의 확률로 얻기 위해서는P(S≥52000)=(S−E(S)σ(S)≥52000−E(S)σ(S))=(Z≥52000−(80A−100000)4A)≥0.95\displaystyle \begin{aligned}P(S\ge52000)&=\left(\frac{S-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\ge\frac{52000-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\right)\\&=\left(Z\ge\frac{52000-(80A-100000)}{4A}\right)\ge0.95\end{aligned}

+5점 · 52000−(80×A−100000)4×A≤−1.65\displaystyle \frac{52000-(80\times A-100000)}{4\times A}\le-1.65이어야 한다.

를 만족해야 하므로 52000−(80A−100000)4A≤−1.65\displaystyle \frac{52000-(80A-100000)}{4A}\le-1.65이어야 한다.

+5점 · 위의 조건은 A>2070.8\displaystyle A>2070.8이고 만 원단위에 올림하면 정부와 같은 계약을 할 때 치료된 환자 1명 당 보상금은 2,071만 원 이상으로 정해야 한다.

위의 조건은 A≥2070.8\displaystyle A\ge2070.8이고만 원단위에 올림하면 정부와 같은 계약을 할 때 치료된 환자 1명 당 보상금을 2,071만 원 이상으로 정해야 한다.

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