수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

약학과 3번

고려대 세종캠퍼스 2022학년도 모의논술 약학과 3번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2022mo/yak_3

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고려대 세종캠퍼스 2022학년도 모의논술 약학과 3번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2022mo/yak_3

+6점 · Y=2000X−1000\displaystyle Y=2000X-1000이고 여기에서 X\displaystyle X는 B(1,0.8)\displaystyle \mathrm{B}(1,0.8)을 따르는 확률변수이다. +4점 · 상수 a\displaystyle a와 b\displaystyle b의 값은 a=2000\displaystyle a=2000, b=−1000\displaystyle b=-1000이다. +4점 · E(X)=1×0.8=0.8\displaystyle \mathrm{E}(X)=1\times0.8=0.8, V(X)=1×0.8×0.2=0.16\displaystyle \mathrm{V}(X)=1\times0.8\times0.2=0.16 +6점 · E(Y)=2000E(X)−1000=2000×0.8−1000=600\displaystyle \mathrm{E}(Y)=2000\mathrm{E}(X)-1000=2000\times0.8-1000=600 V(Y)=a2V(X)=20002×0.16=(2000×0.4)2\displaystyle \mathrm{V}(Y)=a^2\mathrm{V}(X)=2000^2\times0.16=(2000\times0.4)^2 즉 V(Y)=800\displaystyle \sqrt{\mathrm{V}(Y)}=800

[3-1]Y=2000×X−1000\displaystyle Y=2000\times X-1000이고 여기에서 X\displaystyle X는 B(1,0.8)\displaystyle \mathrm{B}(1,0.8)을 따르는 확률변수이다.상수 a\displaystyle a와 b\displaystyle b의 값은 a=2000\displaystyle a=2000, b=−1000\displaystyle b=-1000이다.E(X)=1×0.8=0.8\displaystyle \mathrm{E}(X)=1\times0.8=0.8, V(X)=1×0.8×0.2=0.16\displaystyle \mathrm{V}(X)=1\times0.8\times0.2=0.16E(Y)=2000×E(X)−1000=2000×0.8−1000=600\displaystyle \mathrm{E}(Y)=2000\times\mathrm{E}(X)-1000=2000\times0.8-1000=600V(Y)=a2×V(X)=20002×0.16=(2000×0.4)2\displaystyle \mathrm{V}(Y)=a^2\times\mathrm{V}(X)=2000^2\times0.16=(2000\times0.4)^2, 즉 V(Y)=800\displaystyle \sqrt{\mathrm{V}(Y)}=800

+6점 · S=2000W−100000\displaystyle S=2000W-100000이고 여기에서 W\displaystyle W는 B(100,0.8)\displaystyle \mathrm{B}(100,0.8)을 따르는 확률변수이다. +4점 · 상수 c\displaystyle c와 d\displaystyle d의 값은 c=2000\displaystyle c=2000, d=−1000×100=−100000\displaystyle d=-1000\times100=-100000이다. +4점 · E(W)=100×0.8=80\displaystyle \mathrm{E}(W)=100\times0.8=80, V(W)=100×0.8×0.2=16\displaystyle \mathrm{V}(W)=100\times0.8\times0.2=16 +6점 · E(S)=2000×E(W)−100000=2000×80−100000=60000\displaystyle \mathrm{E}(S)=2000\times\mathrm{E}(W)-100000=2000\times80-100000=60000 V(S)=c2×V(W)=20002×16=(2000×4)2\displaystyle \mathrm{V}(S)=c^2\times\mathrm{V}(W)=2000^2\times16=(2000\times4)^2, 즉 V(S)=σ(S)=8000\displaystyle \sqrt{\mathrm{V}(S)}=\sigma(S)=8000

[3-2]S=2000×W−100000\displaystyle S=2000\times W-100000이고 여기에서 W\displaystyle W는 B(100,0.8)\displaystyle \mathrm{B}(100,0.8)을 따르는 확률변수이다.상수 c\displaystyle c와 d\displaystyle d의 값은 c=2000\displaystyle c=2000, d=−1000×100=−100000\displaystyle d=-1000\times100=-100000이다.E(W)=100×0.8=80\displaystyle \mathrm{E}(W)=100\times0.8=80, V(W)=100×0.8×0.2=16\displaystyle \mathrm{V}(W)=100\times0.8\times0.2=16E(S)=2000×E(W)−100000=2000×80−100000=60000\displaystyle \mathrm{E}(S)=2000\times\mathrm{E}(W)-100000=2000\times80-100000=60000V(S)=c2×V(W)=20002×16=(2000×4)2\displaystyle \mathrm{V}(S)=c^2\times\mathrm{V}(W)=2000^2\times16=(2000\times4)^2, 즉 V(S)=σ(S)=8000\displaystyle \sqrt{\mathrm{V}(S)}=\sigma(S)=8000

+8점 · 확률변수 W\displaystyle W는 [3-2]에서 보인 바와 같이 평균 80, 분산 16을 가진다. 이항분포의 정규분포로의 근사 성질에 따라 W\displaystyle W는 근사적으로 같은 평균과 분산을 가지는 정규분포를 따른다. 즉 W∼N(80,16)\displaystyle W\sim\mathrm{N}(80,16)이다. +6점 · 그리고 S=2000×W−100000\displaystyle S=2000\times W-100000 +6점 · 정규분포를 따르는 확률변수의 선형변환 또한 정규분포를 따른다. 확률변수 S의 평균과 분산은 각각 6000, 80002\displaystyle 8000^2을 가지므로 확률변수 S\displaystyle S는 정규분포 N(6000,80002)\displaystyle \mathrm{N}(6000,8000^2)를 따른다.

Correction. 정규분포의 평균 6000은 60000의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[3-3]확률변수 W\displaystyle W는 [3-2]에서 보인 바와 같이 평균 80, 분산 16을 가진다. 이항분포의 정규분포로의 근사 성질에 따라 W\displaystyle W는 근사적으로 같은 평균과 분산을 가지는 정규분포를 따른다. 즉 W∼N(80,16)\displaystyle W\sim\mathrm{N}(80,16)이다.그리고 S=2000×W−100000\displaystyle S=2000\times W-100000이다. 정규분포를 따르는 확률변수의 선형변환 또한 정규분포를 따른다. 확률변수 S의 평균과 분산은 각각 6000, 80002\displaystyle 8000^2을 가지므로 확률변수 S\displaystyle S는 정규분포 S∼N(6000,80002)\displaystyle S\sim\mathrm{N}(6000,8000^2)를 따른다.Correction. 정규분포의 평균 6000은 60000의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점 · P(S≥52000)=P(S−E(S)σ(S)≥52000−E(S)σ(S))\displaystyle \mathrm{P}(S\ge52000)=\mathrm{P}\left(\frac{S-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\ge\frac{52000-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\right) +5점 · P(S≥52000)=P(S−E(S)σ(S)≥52000−E(S)σ(S))≃P(Z≥52000−600008000)=P(Z≥−1)\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(S\ge52000)&=\mathrm{P}\left(\frac{S-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\ge\frac{52000-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\right)\\&\simeq\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{52000-60000}{8000}\right)\\&=\mathrm{P}(Z\ge-1)\end{aligned} +5점 · P(S≥52000)=P(S−E(S)σ(S)≥52000−E(S)σ(S))≃P(Z≥52000−600008000)=P(Z≥−1)=0.5+0.341=0.841\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(S\ge52000)&=\mathrm{P}\left(\frac{S-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\ge\frac{52000-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\right)\\&\simeq\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{52000-60000}{8000}\right)\\&=\mathrm{P}(Z\ge-1)\\&=0.5+0.341=0.841\end{aligned} +5점 · 이므로 84.1%의 확률로 제약회사가 얻는 수익이 5억 2000만 원보다 더 많다.

[3-4]P(S≥52000)=P(S−E(S)σ(S)≥52000−E(S)σ(S))≃P(Z≥52000−600008000)=P(Z≥−1)=0.5+0.341=0.841\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(S\ge52000)&=\mathrm{P}\left(\frac{S-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\ge\frac{52000-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\right)\\&\simeq\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{52000-60000}{8000}\right)\\&=\mathrm{P}(Z\ge-1)\\&=0.5+0.341=0.841\end{aligned}이므로 84.1%의 확률로 제약회사가 얻는 수익이 5억 2000만 원보다 더 많다.

+4점 · A\displaystyle A를 치료된 환자 1명 당 정부 보상금 이라하면 제약회사가 얻는 수익은 S=A×W−100000\displaystyle S=A\times W-100000의 형태가 된다. +3점 · 여기에서 E(S)=A×E(W)−100000=A×80−100000=80×A−100000\displaystyle \mathrm{E}(S)=A\times\mathrm{E}(W)-100000=A\times80-100000=80\times A-100000 +3점 · V(S)=A2×V(W)=A2×16\displaystyle \mathrm{V}(S)=A^2\times\mathrm{V}(W)=A^2\times16, S\displaystyle S의 표준편차는 V(S)=σ(S)=4×A\displaystyle \sqrt{\mathrm{V}(S)}=\sigma(S)=4\times A이다. +10점 · P(S≥52000)=(S−E(S)σ(S)≥52000−E(S)σ(S))=(Z≥52000−(80A−100000)4A)≥0.95\displaystyle \begin{aligned}P(S\ge52000)&=\left(\frac{S-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\ge\frac{52000-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\right)\\&=\left(Z\ge\frac{52000-(80A-100000)}{4A}\right)\ge0.95\end{aligned}

Correction. 등호 오른쪽의 괄호도 확률을 뜻하므로 확률기호 P가 필요하다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점 · 52000−(80×A−100000)4×A≤−1.65\displaystyle \frac{52000-(80\times A-100000)}{4\times A}\le-1.65이어야 한다. +5점 · 위의 조건은 A>2070.8\displaystyle A>2070.8이고 만 원단위에 올림하면 정부와 같은 계약을 할 때 치료된 환자 1명 당 보상금은 2,071만 원 이상으로 정해야 한다.

Correction. 올림 전의 하한은 15200073.4≈2070.8446866\displaystyle \frac{152000}{73.4}\approx2070.8446866이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[3-5]A\displaystyle A를 치료된 환자 1명 당 정부 보상금 이라하면 제약회사가 얻는 수익은S=A×W−100000\displaystyle S=A\times W-100000의 형태가 된다.여기에서E(S)=A×E(W)−100000=A×80−100000=80×A−100000\displaystyle \mathrm{E}(S)=A\times\mathrm{E}(W)-100000=A\times80-100000=80\times A-100000V(S)=A2×V(W)=A2×16\displaystyle \mathrm{V}(S)=A^2\times\mathrm{V}(W)=A^2\times16, S\displaystyle S의 표준편차는 V(S)=σ(S)=4A\displaystyle \sqrt{\mathrm{V}(S)}=\sigma(S)=4A이다.제약회사가 5억 2000만 원 이상의 수익을 95%의 확률로 얻기 위해서는P(S≥52000)=(S−E(S)σ(S)≥52000−E(S)σ(S))=(Z≥52000−(80A−100000)4A)≥0.95\displaystyle \begin{aligned}P(S\ge52000)&=\left(\frac{S-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\ge\frac{52000-\mathrm{E}(S)}{\sigma(S)}\right)\\&=\left(Z\ge\frac{52000-(80A-100000)}{4A}\right)\ge0.95\end{aligned}를 만족해야 하므로 52000−(80A−100000)4A≤−1.65\displaystyle \frac{52000-(80A-100000)}{4A}\le-1.65이어야 한다.위의 조건은 A≥2070.8\displaystyle A\ge2070.8이고Correction. 올림 전의 하한은 15200073.4≈2070.8446866\displaystyle \frac{152000}{73.4}\approx2070.8446866이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.만 원단위에 올림하면 정부와 같은 계약을 할 때 치료된 환자 1명 당 보상금을 2,071만 원 이상으로 정해야 한다.

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