약학과 2번

[2-1]단계1.$\displaystyle y=f^{-1}(x)=g(x)$이고 $\displaystyle y=f(x)=\tan x$의 역함수 $\displaystyle x=\tan y$를 $\displaystyle y$에 대하여 양변을 미분하면$\displaystyle \frac{dx}{dy}=(\tan y)^{\prime}$$\displaystyle \frac{dx}{dy}=\sec^2y$이다.

단계2.그러므로$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}}=\frac1{\sec^2y}=\frac1{\frac1{\cos^2y}}=\frac1{\frac{\cos^2y+\sin^2y}{\cos^2y}}=\frac1{1+\tan^2y}=\frac1{1+x^2}$이다.

[2-2]단계1.$\displaystyle \int\frac1{1+x^2}dx=g(x)+C$임을 이용하자.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1g(x)\,dx&=\int_0^1 1g(x)\,dx\\&=\Biggl[xg(x)\Biggr]_0^1-\int_0^1xg^{\prime}(x)\,dx\\&=g(1)-\int_0^1\frac x{1+x^2}dx\end{aligned}$

단계2.$\displaystyle \begin{aligned}&=g(1)-\int_1^2\frac1{2u}du,\;\text{여기에서 }(1+x^2)=u,\;2x=\frac{du}{dx}\\&=g(1)-\frac12\Biggl[\ln u\Biggr]_1^2\\&=g(1)-\frac12\ln2\end{aligned}$

단계3.$\displaystyle =\frac\pi4-\frac12\ln2$

[2-3]단계1.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac\pi4}\tan x\,dx&=\int_0^{\frac\pi4}\frac{\sin x}{\cos x}dx\\&=\int_1^{\frac1{\sqrt2}}-\frac1u du,\;\text{여기에서 }\cos x=u,\;-\sin x=\frac{du}{dx}\\&=\Biggl[-\ln u\Biggr]_1^{\frac1{\sqrt2}}\\&=-\ln\frac1{\sqrt2}\\&=\frac12\ln2\end{aligned}$

+15점 · (해설)그림에 있는 사각형 A와 사각형 B와 같은 적분값을 구하는데 필요한 사각형을 표시하고, $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)=f^{-1}(x)$의 그래프를 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭으로 그리면 15점

[2-4]단계1.

단계2.그림의 실선($\displaystyle x=1,y=\frac\pi4$)과 $\displaystyle x$축($\displaystyle y=0$), $\displaystyle y$축($\displaystyle x=0$)으로 이루어진 사각형 A의 넓이는 $\displaystyle \frac\pi4$이다.또한, 점선($\displaystyle x=\frac\pi4,y=1$)과 $\displaystyle x$축($\displaystyle y=0$), $\displaystyle y$축($\displaystyle x=0$)으로 이루어진 사각형 B의 넓이도 $\displaystyle \frac\pi4$이다.$\displaystyle \int_0^1g(x)\,dx=(\text{사각형 A의 넓이})$$\displaystyle -\left(y=\frac\pi4,x=0,y=g(x)\text{로 둘러싸인 부분의 넓이}\right)$이다.

단계3.여기에서, $\displaystyle y=g(x)$의 그래프와 $\displaystyle y=\tan x$의 그래프는 역함수의 성질에 의해 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \left(y=\frac\pi4,x=0,y=g(x)\text{로 둘러싸인 부분의 넓이}\right)$는$\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}\tan x\,dx=\frac12\ln2$와 같다.즉, $\displaystyle \int_0^1g(x)\,dx=\frac\pi4-\frac12\ln2$이다.