약학과 2번

[2-1] (Ⅰ - 2)가 질환이 발현하지 않았고 자녀 $\displaystyle \mathrm{II}_1$이 발현하였으므로 $\displaystyle \mathrm{I}_2$는 보인자임.$\displaystyle \mathrm{II}_2$가 어머니로부터 질환 연관 유전자가 있는 $\displaystyle X$ 염색체를 1개 물려받을 확률은$\displaystyle \frac12$이므로 $\displaystyle \mathrm{II}_2$가 보인자일 확률은 $\displaystyle \frac12$이다.

[2-2] $\displaystyle A$를 $\displaystyle \mathrm{II}_2$가 보인자일 사건이라 하고 $\displaystyle B$를 $\displaystyle \mathrm{II}_2$가 낳은 아들 3명이 모두 정상인 사건이라고 하면 $\displaystyle P(A|B)$를 계산하면 답이 된다.$\displaystyle \begin{aligned}P(A|B)&=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A\cap B)+P(A^C\cap B)}\\&=\frac{\frac12\cdot\left(\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\right)}{\frac12\cdot\left(\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\right)+\frac12\cdot1}=\frac{\frac1{16}}{\frac9{16}}=\frac19\end{aligned}$

[2-3] $\displaystyle A$를 $\displaystyle \mathrm{II}_1$이 유전자 변이를 갖고 있는 사건, $\displaystyle B$를 $\displaystyle \mathrm{II}_1$이 질환 증상이 안 보일 사건이라고 하면 $\displaystyle P(A|B)$를 우선 구하자.$\displaystyle \begin{aligned}P(A|B)&=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A\cap B)+P(A^C\cap B)}\\&=\frac{\frac12\cdot\frac15}{\frac12\cdot\frac15+\frac12\cdot1}=\frac16\end{aligned}$$\displaystyle \mathrm{III}_1$에서 질환이 나타나는 경우는 $\displaystyle \mathrm{II}_1$이 질환 증상이 안 나타나지만 유전자변이를 갖고 있고 (확률 $\displaystyle \frac16$), 그 유전자 변이가 있는 염색체를 물려받고 (확률 $\displaystyle \frac12$),그 유전자 변이가 질환 증상으로 나타나는 (확률 $\displaystyle \frac45$) 경우이다.각각의 확률을 곱한 $\displaystyle \frac16\cdot\frac12\cdot\frac45=\frac1{15}$이 답이다.

[2-4] $\displaystyle X$를 한 해 동안 태어난 질환을 보이는 신생아 수라고 하면, $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle B(1400,1/15)$를 따르는 확률변수이다.이때, 1400은 충분히 큰 수이므로 확률변수 $\displaystyle X$는 근사적으로 정규분포$\displaystyle N\left(1400\frac1{15},\left(\sqrt{1400\frac1{15}\frac{14}{15}}\right)^2\right)=N\left(\frac{1400}{15},\left(\frac{140}{15}\right)^2\right)$를 따른다.[가계도 2]와 같은 형태의 1쌍의 부부가 내야하는 보험료를 $\displaystyle Y$라고 하면$\displaystyle \begin{aligned}0.95&=\mathrm{P}(\text{총 치료비}<\text{총 보험료})\\&=\mathrm{P}(X\cdot100\text{만}<1400\times Y\text{만})\\&=\mathrm{P}(X<14Y)\\&=\mathrm{P}\left(\frac{X-1400/15}{140/15}<\frac{14Y-1400/15}{140/15}\right)\\&=\mathrm{P}\left(Z<\frac{Y-100/15}{10/15}\right)\\&=\mathrm{P}(Z<1.65)\end{aligned}$여기에서 $\displaystyle Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다. 그러므로$\displaystyle \frac{Y-100/15}{10/15}=1.65$이고$\displaystyle Y=\frac{100}{15}+1.65\times\frac{10}{15}=\frac{233}{30}=7.7\dot6\simeq7.8$만원이다.