약학과 3번

3-1$\displaystyle \alpha=0$이고 <조건2>에 의해 $\displaystyle f(t)=\begin{cases}t^2(t-\beta)^2+k,&0\le t\le\beta\\k,&\beta<t\le3\beta\end{cases}$이다.$\displaystyle 0\le t\le3\beta$에서 $\displaystyle f^{\prime}(t)=2t(t-\beta)(2t-\beta)$이므로 증감표와 그래프는 아래와 같다.Correction. 도함수 식 앞의 범위 $\displaystyle 0\le t\le3\beta$는 $\displaystyle 0\le t\le\beta$의 오기이다. $\displaystyle \beta<t\le3\beta$에서는 바로 아래 증감표와 같이 $\displaystyle f^{\prime}(t)=0$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle f^{\prime}(t)=4t(t-2)(t-4)$이며 변곡점은 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=4(3t^2-12t+8)=0$의 해 이므로 $\displaystyle p=\frac{6-2\sqrt3}{3},q=\frac{6+2\sqrt3}{3}$이다.따라서 $\displaystyle \int_p^q(f(t)-k)\,dt=\int_p^q t^2(t-4)^2dt=\int_p^q t^4-8t^3+16t^2dt$$\displaystyle =\Biggl[\frac15t^5-2t^4+\frac{16}3t^3\Biggr]_p^q=\frac1{15}\Biggl[t^3(-18t+72)\Biggr]_p^q\;(\because3t^2-12t+8=0)$$\displaystyle =\frac15\Biggl[t^2(-6t^2+24t)\Biggr]_p^q=\frac{16}5\Biggl[t^2\Biggr]_p^q=\frac{256}{15}\sqrt3$이다.

3-2$\displaystyle \beta=c\alpha\;(c>1)$라 하자. $\displaystyle 2\le\alpha\le t\le c\alpha$에서 $\displaystyle f(t)=(t-\alpha)^2(t-c\alpha)^2$이며 B질환 한계 지수가 $\displaystyle \alpha^4$이므로, $\displaystyle \left(\frac{c-1}2\right)^4\alpha^4=\alpha^4$이다. 따라서 $\displaystyle c=3$ ($\displaystyle \because c$는 양수), 즉 $\displaystyle \beta=3\alpha$이다.Correction. [3-2]와 해당 채점표의 다항식은 $\displaystyle f(t)$가 아니라 $\displaystyle f(t)-k$이다. $\displaystyle f(t)$를 나타내려면 상수항 $\displaystyle k$를 더해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle t=\alpha$부터 $\displaystyle t=3\alpha$까지 환자에게 가해지는 X수치 약화지수는 $\displaystyle \alpha\le t\le3\alpha$에서 함수 $\displaystyle y=f(t)-k$의 그래프와 $\displaystyle t$축으로 둘러싸인 부분의 넓이이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_\alpha^{3\alpha}(f(t)-k)\,dt&=\int_\alpha^{3\alpha}(t-\alpha)^2(t-3\alpha)^2dt=\int_\alpha^{-\alpha}(\alpha-t)^2(\alpha+t)^2(-dx)\;(x=2\alpha-t)\\&=\int_{-\alpha}^\alpha(\alpha^2-x^2)^2dx=\int_{-\alpha}^\alpha x^4-2\alpha^2x^2+\alpha^4dx=\frac{16}{15}\alpha^5\end{aligned}$Correction. 치환 직후 두 괄호에 남아 있는 $\displaystyle t$는 $\displaystyle x$의 오기이다. $\displaystyle x=2\alpha-t$로 치환하면 $\displaystyle t-\alpha=\alpha-x$, $\displaystyle t-3\alpha=-(\alpha+x)$이고 $\displaystyle dt=-dx$이므로 피적분함수는 $\displaystyle (\alpha-x)^2(\alpha+x)^2$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \alpha\ge2$인 자연수 중 제시문<라>, <마>를 만족하는 X수치 한계지수와 약화지수의 조건인 $\displaystyle 16\le\alpha^4\le300$와 $\displaystyle \frac{16}{15}\alpha^5<600$를 동시에 만족하는 자연수는 2, 3이다.

3-3$\displaystyle \alpha=6\;(\alpha>2)$이므로 X수치 한계지수는 $\displaystyle \alpha^4$이므로 X수치 경감제를 투약하지 않는다면 $\displaystyle f(t)=(t-6)^2(t-18)^2+k\;(6\le t\le18)$이다. 또한, 문제3-2와 같이 X수치 한계지수가 $\displaystyle \alpha^4$이므로 X수치 약화지수는 $\displaystyle \int_\alpha^{3\alpha}(t-\alpha)^2(t-3\alpha)^2dt=\frac{16}{15}\alpha^5$이다. $\displaystyle \alpha=6$이므로 X수치 약화지수는 $\displaystyle \frac{16}{15}(6)^5>600$이다. 따라서 X수치 경감제는 $\displaystyle 6<t<12$ 중에 투약해야 한다.

직선 $\displaystyle x=6+s$에 대칭이므로 $\displaystyle s=2$일 때, X수치 약화지수는$\displaystyle 2\int_6^8(t-6)^2(t-18)^2dt=2\int_0^2 x^2(x-12)^2dx=588.8<600$이다. 따라서 가능한 자연수 $\displaystyle s$는 1, 2이다.

하지만 X수치 한계지수가 $\displaystyle f(8)-k=400>300$, $\displaystyle f(7)-k=11^2=121<300$이므로 $\displaystyle s=1$만 가능하다.