약학과 4번

(i) 장축의 길이각 원뿔의 축을 지나고 경사면의 가로 방향에 평행한 평면으로 자른다.이 평면에서 $\displaystyle \mathrm O_i$를 원점으로 하고,경사면을 따라 올라가는 방향을 $\displaystyle u$축, 원뿔의 축 방향을 $\displaystyle w$축으로 잡는다.높이가 $\displaystyle \sqrt3$, 밑면 반지름이 $\displaystyle 1$이므로 두 모선의 방정식은$\displaystyle w=\sqrt3-\sqrt3u\quad(u\ge0)$,$\displaystyle w=\sqrt3+\sqrt3u\quad(u\le0)$이다.

수평 절단면은 $\displaystyle w$축과 높이 $\displaystyle (2i-1)\tau$에서 만나므로,이 평면에서 절단선의 방정식은$\displaystyle w=(2i-1)\tau-u\tau$이다.$\displaystyle D_i=\sqrt3-(2i-1)\tau$라 하면 두 모선과의 교점의 $\displaystyle u$좌표는$\displaystyle u_+=\frac{D_i}{\sqrt3-\tau}$, $\displaystyle u_-=-\frac{D_i}{\sqrt3+\tau}$이다.

이 두 교점 사이의 길이를 $\displaystyle 2a_i$라 하자.절단선과 $\displaystyle u$축이 이루는 각이 $\displaystyle \theta$이므로$\displaystyle \begin{aligned}2a_i&=\frac{u_+-u_-}{\cos\theta}\\&=\frac{2\sqrt3D_i}{(3-\tau^2)\cos\theta}.\end{aligned}$여기서 $\displaystyle (3-\tau^2)\cos\theta=2\sqrt2$이고,$\displaystyle q_1=\sqrt3-1$, $\displaystyle q_2=2\sqrt3-3$, $\displaystyle q_3=3\sqrt3-5$라 하면 $\displaystyle D_i=2q_i$이므로$\displaystyle 2a_i=\sqrt6q_i$이다.

(ii) 단축의 길이절단선의 두 교점의 중점을 $\displaystyle \mathrm M_i(u_i,w_i)$라 하자.수직단면에 대한 대칭성에 의해 $\displaystyle \mathrm M_i$는 타원의 중심이다.두 끝점의 좌표가 $\displaystyle (u_i\pm a_i\cos\theta,w_i\mp a_i\sin\theta)$이므로,각각의 모선 방정식에 대입하면$\displaystyle \begin{aligned}\sqrt3-w_i&=\sqrt3a_i\cos\theta,\\u_i&=\frac{a_i\sin\theta}{\sqrt3}.\end{aligned}$

$\displaystyle \mathrm M_i$를 지나고 원뿔의 밑면에 평행한 평면으로 자른 원의 반지름을 $\displaystyle \rho_i$라 하면,닮음에 의하여$\displaystyle \rho_i=\frac{\sqrt3-w_i}{\sqrt3}=a_i\cos\theta$이다.이 원과 수평 절단면의 교선은 타원의 중심 $\displaystyle \mathrm M_i$를 지나고 경사면의 폭 방향과 평행하다.원의 중심에서 이 교선까지의 거리는 $\displaystyle |u_i|$이므로,그 현의 반길이를 $\displaystyle b_i$라 하면 피타고라스 정리에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}b_i^2&=\rho_i^2-u_i^2\\&=a_i^2\left(\cos^2\theta-\frac13\sin^2\theta\right)\\&=\frac{1+\sqrt3}{3}a_i^2.\end{aligned}$$\displaystyle 0<\frac{1+\sqrt3}{3}<1$이므로 $\displaystyle 2a_i$가 장축, $\displaystyle 2b_i$가 단축의 길이이다.

따라서 세 타원의 장축과 단축의 길이는 각각 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}C_1:\quad 2a_1&=\sqrt6(\sqrt3-1),\\2b_1&=2\sqrt{\sqrt3-1},\\C_2:\quad 2a_2&=\sqrt6(2\sqrt3-3),\\2b_2&=\sqrt{2(1+\sqrt3)}(2\sqrt3-3),\\C_3:\quad 2a_3&=\sqrt6(3\sqrt3-5),\\2b_3&=\sqrt{2(1+\sqrt3)}(3\sqrt3-5).\end{aligned}$

나머지 두 접선은 $\displaystyle y$축에 대칭이므로$\displaystyle \ell_2:y=mx+c$, $\displaystyle \ell_3:y=-mx+c\quad(m>0)$로 둘 수 있다.$\displaystyle y=mx+c$를 타원의 방정식에 대입하여 얻는 이차방정식은$\displaystyle (b^2+a^2m^2)x^2+2a^2mcx+a^2(c^2-b^2)=0$이다.접하므로 판별식이 $\displaystyle 0$이고, 이를 정리하면 $\displaystyle c^2=a^2m^2+b^2$이다.

두 근 모두 실제로 조건을 만족한다.각 근에 대하여 $\displaystyle c=\sqrt{a^2m^2+b^2}>b$로 잡으면,세 접선 $\displaystyle \ell_1,\ell_2,\ell_3$이 만드는 삼각형의 꼭짓점은$\displaystyle (0,c)$, $\displaystyle \left(-\frac{c+b}{m},-b\right)$, $\displaystyle \left(\frac{c+b}{m},-b\right)$이다.따라서 두 경우 모두 $\displaystyle y$축에 대칭인 이등변삼각형을 이루며,두 접선과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이도 주어진 값과 같다.

그러므로 구하는 두 접선의 기울기의 곱은 다음 두 값이다.$\displaystyle -\left(\frac{8-3\sqrt3\pm\sqrt{151-84\sqrt3}}{2(6-3\sqrt3)}\right)^2$