약학과 3번

3-1두 원 사이의 높이가 $\displaystyle \sqrt2r$로 일정하므로, 원 $\displaystyle C_2$을 $\displaystyle xy$평면으로 정사영한 도형 위의 점과 원 $\displaystyle C_1$ 위의 점 사이의 거리가 최소, 최대일 때를 찾으면 된다. 이때 거리의 최소가 $\displaystyle \left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)r$, 최대가 $\displaystyle \left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right)r$이므로 $\displaystyle \frac{p^2+q^2}{r^2}=\left\{2+\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2\right\}+\left\{2+\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2\right\}=7$.

3-2원 $\displaystyle C_1$의 중심을 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$로 하여 네 번째 그림의 주어진 도형들을 $\displaystyle yz$평면에 정사영하면, 이차곡선 $\displaystyle C_3$은 주축의 거리가 $\displaystyle 2b$인 쌍곡선을 평행이동한 $\displaystyle 2b=2(\overline{\mathrm{OJ}}-\overline{\mathrm{OP}})=2(2+\sqrt2)r$인 쌍곡선을 $\displaystyle z$축 방향으로 원뿔의 높이인 $\displaystyle 2(1+\sqrt2)r$만큼 평행이동한 곡선이 된다. 따라서 곡선 $\displaystyle C_3$의 방정식은$\displaystyle \left(\frac{y}{a}\right)^2-\left(\frac{z-2(1+\sqrt2)r}{(2+\sqrt2)r}\right)^2=-1$이 된다. $\displaystyle \left(\frac{\sqrt2}{2}r,0\right)$을 지난다는 것을 이용해 $\displaystyle a=\frac{\sqrt2}{2}r$임을 구할 수 있다. 따라서 $\displaystyle d=2\sqrt{a^2+b^2}$이므로 $\displaystyle d^2=4(a^2+b^2)=(26+16\sqrt2)r^2$가 된다.

3-3주어진 도형들을 $\displaystyle yz$평면에 정사영해서 생각해 보자.$\displaystyle 2a=\overline{\mathrm{GK}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{KL}}=\sqrt2\left(a-\frac{r}{2}\right)$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OL}}=\sqrt2(a-r)$이다.삼각형의 닮음에 따라 $\displaystyle \overline{\mathrm{KL}}:\overline{\mathrm{JL}}=\overline{\mathrm{FP}}:\overline{\mathrm{JP}}$를 이용하면$\displaystyle a=\frac27(3+\sqrt2)r$.한편, 주어진 도형들을 $\displaystyle xy$평면에 정사영해서 생각하면, 곡선 $\displaystyle C_4$의 정사영 $\displaystyle C_4^{\prime}$은 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt2}{2}r,0\right)$, $\displaystyle \left(-\frac{\sqrt2}{2}r,\frac{\sqrt2}{2}r\right)$을 지나며 아래 식을 따른다.$\displaystyle \left(\frac{x-k}{a^{\prime}}\right)^2+\left(\frac{y}{b^{\prime}}\right)^2=1$.$\displaystyle a^{\prime}$은 $\displaystyle a$의 정사영임을 이용해서 구하면 $\displaystyle a^{\prime}=\frac17(3\sqrt2+2)r$이다. 첫 번째 점을 대입하면,$\displaystyle k=\frac{\sqrt2}{2}r-a^{\prime}=\frac1{14}(\sqrt2-4)r$임을 구할 수 있다.두 번째 점을 대입하면 $\displaystyle (b^{\prime})^2=\frac{5+4\sqrt2}{14}r^2$임을 구할 수 있다. $\displaystyle b^{\prime}$은 정사영해도 변함이 없으므로$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{\left\{\frac27(3+\sqrt2)r\right\}^2}{\frac{5+4\sqrt2}{14}r^2}=\frac87(2\sqrt2-1)$.