약학과 1번

[1-1]두 원의 교점을 점 $\displaystyle \mathrm{C}$, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$라 하고 선분 $\displaystyle \mathrm{OO}^{\prime}$의 중점을 점 $\displaystyle \mathrm{H}$라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{CPH}$는 직각삼각형이며 $\displaystyle \overline{\mathrm{CH}}=\frac{3\sqrt3}{2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}}=7$이다. 따라서 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PA}}|\le7$을 만족하는 점 $\displaystyle \mathrm{A}$는 원 $\displaystyle C^{\prime}$위에 있다.

선분 $\displaystyle \mathrm{OO}^{\prime}$에 수직이며 원의 중심 $\displaystyle \mathrm{O}^{\prime}$를 지나는 지름의 양 끝점을 점 $\displaystyle \mathrm{I},\ \mathrm{J}$라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{IPO}^{\prime}$는 직각삼각형이며 $\displaystyle \overline{\mathrm{IO}^{\prime}}=3$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}^{\prime}}=8$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PI}}=\sqrt{73}$이다. 따라서 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PB}}|\ge\sqrt{73}$, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PY}^{\prime}}|\ge\sqrt{73}$ 이므로 두 점 $\displaystyle \mathrm{B},\ \mathrm{Y}^{\prime}$은 호 $\displaystyle \mathrm{IJ}$(원의 중심 $\displaystyle \mathrm{O}$를 지나지 않은 호 $\displaystyle \mathrm{IJ}$) 위에 있다.

$\displaystyle \angle\mathrm{BAY}^{\prime}$는 원 $\displaystyle C^{\prime}$의 원주각이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{BAY}^{\prime}=\frac{\pi}{2}$일 때 최대이다.

즉, 선분 $\displaystyle \mathrm{BY}^{\prime}$는 지름이며 $\displaystyle \overline{\mathrm{BY}^{\prime}}=6$이다. 선분 $\displaystyle \mathrm{AO}^{\prime}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{BY}^{\prime}$가 수직일 때의 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BAY}^{\prime}$의 넓이는 최댓값이다. 그러므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BAY}^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times6\times3=9$이다.

[1-2]선분 $\displaystyle \mathrm{OO}^{\prime}$의 중점을 점 $\displaystyle \mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{BH}}+\overrightarrow{\mathrm{HA}}$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}&=\overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{BH}}+\overrightarrow{\mathrm{HA}})\\&=\overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BH}}+\overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HA}}\\&=2\overrightarrow{\mathrm{HO}^{\prime}}\cdot(-\overrightarrow{\mathrm{HB}})+\overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HA}}\\&=-2(\overrightarrow{\mathrm{HO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HB}})+\overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HA}}\end{aligned}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}+\overrightarrow{\mathrm{HA}}$ 이며 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}|=3$, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|\le3$, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|=\frac32$ 이므로$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HA}}&=\overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OH}})=\overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OH}}\\&=|\overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}||\overrightarrow{\mathrm{OA}}|\cos\theta-3\times\frac32\end{aligned}$($\displaystyle \theta$는 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}$의 사잇각) 이므로 $\displaystyle \theta=0$(점 $\displaystyle \mathrm{A}$는 점 $\displaystyle \mathrm{O}^{\prime}$가 같을 때)일 때 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HA}}$의 최대이다.

또한, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HB}}\le0$ 인 점 $\displaystyle \mathrm{B}$에서 $\displaystyle -2(\overrightarrow{\mathrm{HO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HB}})$가 최댓값을 가진다. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HB}}+\overrightarrow{\mathrm{BO}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{HO}^{\prime}}$ 이므로$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{HO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HB}}&=\overrightarrow{\mathrm{HO}^{\prime}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{HO}^{\prime}}-\overrightarrow{\mathrm{BO}^{\prime}})=\overrightarrow{\mathrm{HO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HO}^{\prime}}-\overrightarrow{\mathrm{HO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BO}^{\prime}}\\&=\left(\frac32\right)^2-\overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime}\mathrm{H}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime}\mathrm{B}}\end{aligned}$

그러므로 점 $\displaystyle \mathrm{A}$는 점 $\displaystyle \mathrm{O}^{\prime}$, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$는 점 $\displaystyle \mathrm{O}$가 될 때 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OO}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BA}}$가 최대가 되며 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=3$이다.

[1-3]점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 원 $\displaystyle C$에 그은 접선의 접점이 직선 $\displaystyle \mathrm{OO}^{\prime}$를 기준으로 점 $\displaystyle \mathrm{Y}$와 다른 영역에 있다고 하고 이때, 접점을 $\displaystyle \mathrm{F}$라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OFP}$는 직각삼각형이며 $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}}=5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OF}}=3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}}=4$이다.

또한, 직선 $\displaystyle \mathrm{OF}$가 원 $\displaystyle C$와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{G}$(점 $\displaystyle \mathrm{F}$와 다른 점)라 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{GFP}$는 직각삼각형이며 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}}=4$, $\displaystyle \overline{\mathrm{FG}}=6$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PG}}=2\sqrt{13}$이다.

직선 $\displaystyle \mathrm{OO}^{\prime}$를 기준으로 점 $\displaystyle \mathrm{G}$와 같은 영역의 원 $\displaystyle C$ 위의 점 중에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와의 거리가 $\displaystyle 2\sqrt{13}$인 점은 유일하므로 점 $\displaystyle \mathrm{G}$와 점 $\displaystyle \mathrm{Y}$는 같은 점이며

직선 $\displaystyle \mathrm{YO}$가 원 $\displaystyle C$와 만나는 점은 $\displaystyle \mathrm{Q}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{F}$와 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$도 같은 점이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{YQP}$는 직각삼각형이다.

[1-4]문제 [1-3]의 결과에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=4$이며 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$는 원 $\displaystyle C$에 접한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^2=\overline{\mathrm{PX}}\times\overline{\mathrm{PY}}$에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{PX}}=\frac8{\sqrt{13}}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{XY}}=\frac{18\sqrt{13}}{13}$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{O}^{\prime}$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{X}^{\prime}\mathrm{Y}^{\prime}$에 내린 수선의 발을 점 $\displaystyle \mathrm{R}$이라 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{O}^{\prime}\mathrm{RP}$는 직각삼각형이며 $\displaystyle \sin\angle\mathrm{OPX}^{\prime}=\sin\angle\mathrm{O}^{\prime}\mathrm{PR}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}^{\prime}\mathrm{R}}=\frac8{\sqrt{10}}$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{X}^{\prime}\mathrm{Y}^{\prime}}=\frac25\sqrt{65}$이다.직선 $\displaystyle \mathrm{OO}^{\prime}$를 기준으로 위, 아래 두 영역이 구분될 때, 같은 영역에 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{XY}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{X}^{\prime}\mathrm{Y}^{\prime}}$가 같이 있는 경우와 각 영역에 한 벡터씩 각각 있는 경우는 두 벡터의 사잇각이 다르다.

(ⅰ) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{XY}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{X}^{\prime}\mathrm{Y}^{\prime}}$가 위, 아래 영역에 각각 있는 경우$\displaystyle \alpha=\angle\mathrm{O}^{\prime}\mathrm{PY}^{\prime}$, $\displaystyle \beta=\angle\mathrm{YPQ}$, $\displaystyle \gamma=\angle\mathrm{O}^{\prime}\mathrm{PQ}$, $\displaystyle \delta=\angle\mathrm{YPO}^{\prime}$라 하면 $\displaystyle \tan\alpha=\frac13$, $\displaystyle \tan\beta=\frac32$, $\displaystyle \tan\gamma=\frac34$이므로$\displaystyle \tan\delta=\tan(\beta-\gamma)=\frac{\frac32-\frac34}{1+\frac32\times\frac34}=\frac6{17}$이며$\displaystyle \tan\angle\mathrm{YPY}^{\prime}=\tan(\delta+\alpha)=\frac{\frac6{17}+\frac13}{1-\frac6{17}\times\frac13}=\frac79$이다. $\displaystyle \sec^2\angle\mathrm{YPY}^{\prime}=1+\tan^2\angle\mathrm{YPY}^{\prime}=1+\left(\frac79\right)^2=\frac{130}{81}$ 이므로

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{XY}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{X}^{\prime}\mathrm{Y}^{\prime}}=|\overrightarrow{\mathrm{XY}}||\overrightarrow{\mathrm{X}^{\prime}\mathrm{Y}^{\prime}}|\cos\angle\mathrm{YPY}^{\prime}=\left(\frac{18}{13}\sqrt{13}\right)\left(\frac25\sqrt{65}\right)\frac9{\sqrt{130}}=\frac{162}{65}\sqrt{26}$이다.

(ⅱ) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{XY}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{X}^{\prime}\mathrm{Y}^{\prime}}$가 같은 영역에 있는 경우$\displaystyle \tan\alpha=\frac13$, $\displaystyle \tan\beta=\frac32$, $\displaystyle \tan\gamma=\frac34$ 이므로$\displaystyle \tan\angle\mathrm{YPY}^{\prime}=\tan(\delta-\alpha)=\frac{\frac6{17}-\frac13}{1+\frac6{17}\times\frac13}=\frac1{57}$이다. 직선 $\displaystyle \mathrm{XY}$과 직선 $\displaystyle \mathrm{X}^{\prime}\mathrm{Y}^{\prime}$의 교점이 점 $\displaystyle \mathrm{P}$이므로 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{XY}},\ \overrightarrow{\mathrm{X}^{\prime}\mathrm{Y}^{\prime}}$가 이루는 각은 $\displaystyle \angle\mathrm{YPY}^{\prime}$이다.$\displaystyle \sec^2\angle\mathrm{YPY}^{\prime}=1+\tan^2\angle\mathrm{YPY}^{\prime}=1+\left(\frac1{57}\right)^2=\frac{3250}{3249}$ 이므로

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{XY}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{X}^{\prime}\mathrm{Y}^{\prime}}=|\overrightarrow{\mathrm{XY}}||\overrightarrow{\mathrm{X}^{\prime}\mathrm{Y}^{\prime}}|\cos\angle\mathrm{YPY}^{\prime}=\left(\frac{18}{13}\sqrt{13}\right)\left(\frac25\sqrt{65}\right)\frac{57}{5\sqrt{130}}=\frac{1026}{325}\sqrt{26}$이다.