약학과 3번

[3-1]첫 번째 약을 복용하기 직전의 $\displaystyle \mathrm{A}$의 혈중 농도는 0이고, 이는 첫 번째 주기에서의 최소 농도 $\displaystyle b_1$과 같다. 두 번째 약을 복용하기 직전의 $\displaystyle \mathrm{A}$의 혈중 농도는 $\displaystyle \alpha=0$일 때의 $\displaystyle f(24)$의 값과 같으므로$\displaystyle b_2=f(24)=0.54\times125\times e^{-\sqrt{2.2}}=0.54\times125\times0.23$이다.

마찬가지로 세 번째 약을 복용하기 직전의 $\displaystyle \mathrm{A}$의 혈중 농도는 세 번째 약을 복용한 주기에서의 최소 농도 $\displaystyle b_3$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha=b_2$일 때의 $\displaystyle f(24)$의 값과 같으므로$\displaystyle b_3=0.54\times125\times0.23+0.54\times125\times0.23^2=\frac{76383}{4000}\fallingdotseq19.1$이다.

[3-2]한 주기에서 $\displaystyle \mathrm{A}$의 혈중 농도가 최대가 되는 시기는 약을 복용한 후 2시간이 지났을 때이다. 그리고 한 주기에서 $\displaystyle \mathrm{A}$의 혈중농도가 최소가 되는 시기는 약을 복용한 직후이다. 첫 번째 약을 복용하기 직전의 치료 성분의 체내 농도가 5ppm이었으므로, $\displaystyle \alpha=5$이다. $\displaystyle \beta=100$이므로 첫 번째 주기에서의 치료 성분의 최대 농도 $\displaystyle a_1$과 최소 농도 $\displaystyle b_1$은 다음과 같다.$\displaystyle b_1=5$, $\displaystyle a_1=5+54=59$두 번째 주기에서 치료 성분의 최대 농도 $\displaystyle a_2$와 $\displaystyle b_2$는 다음과 같다.$\displaystyle b_2=59e^{-\sqrt{2.2}}=59\times0.23$, $\displaystyle a_2=59\times0.23+54$세 번째 주기에서 치료 성분의 최대 농도 $\displaystyle a_3$과 $\displaystyle b_3$는 다음과 같다.$\displaystyle b_3=(59\times0.23+54)\times0.23=59\times(0.23)^2+54\times0.23$, $\displaystyle a_3=59\times(0.23)^2+54\times0.23+54$이를 반복적으로 적용하면,$\displaystyle b_n=59\times(0.23)^{n-1}+54\times(0.23)^{n-2}+\cdots+54\times(0.23)$

$\displaystyle a_n=59\times(0.23)^{n-1}+54\times(0.23)^{n-2}+\cdots+54$이다. 따라서 $\displaystyle a_n=b_n+54$

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}b_n&=\lim_{n\to\infty}\left[59\times(0.23)^{n-1}+\{54\times0.23+54\times(0.23)^2+\cdots+54\times(0.23)^{n-2}\}\right]\\&=\frac{54\times0.23}{1-0.23}=\frac{12.42}{0.77}=\frac{1242}{77}\fallingdotseq16.1\end{aligned}$

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=54+\lim_{n\to\infty}b_n=54+16.1=70.1$QtA. 약을 계속 먹는데 왜 농도가 무한히 커지지 않을까?

[3-3]치료 성분의 함량이 $\displaystyle \beta$인 약을 복용한 경우 $\displaystyle n$번째 주기에서의 최대 농도를 $\displaystyle a_n$이라 하자. $\displaystyle \alpha=0$일 때 이므로$\displaystyle a_n=\frac{54\beta}{100}+\frac{54\beta}{100}\times0.23+\frac{54\beta}{100}\times(0.23)^2+\cdots+\frac{54\beta}{100}\times(0.23)^{n-1}$이다.

따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{0.54\beta}{0.77}=\frac{54\beta}{77}<100$Caution. 부등식에서 극한을 취할 때는 등호가 성립할 가능성도 확인해야 한다: 이 문제에서 최대 농도 $\displaystyle a_n$은 극한값보다 작은 값을 유지하면서 증가한다. 따라서 모든 주기에서 $\displaystyle a_n<100$이기 위한 극한값의 조건은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n\le100$이다. 대학 예시답안처럼 $\displaystyle e^{-\sqrt{2.2}}$을 $\displaystyle 0.23$으로 계산하면 실수 $\displaystyle \beta$의 허용 범위는 $\displaystyle \beta\le\frac{7700}{54}$이다. 경계값이 정수가 아니므로 등호의 포함 여부에 따라 최대 정수값 $\displaystyle 142$가 달라지지는 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이어야 하므로 $\displaystyle \beta<\frac{7700}{54}\fallingdotseq142.6$이다. 따라서 최대 정수인 $\displaystyle \beta=142$이다.Comment. 대학 예시답안은 앞 소문항과 같이 $\displaystyle e^{-\sqrt{2.2}}$을 $\displaystyle 0.23$으로 계산하여 $\displaystyle \beta=142$를 얻었다. 다만 이 근삿값을 사용하라는 조건은 3-1과 3-2에만 명시되어 있다. 원래 값을 사용하면 $\displaystyle \beta\le\frac{100(1-e^{-\sqrt{2.2}})}{0.54}\fallingdotseq143.166$이므로 가능한 최대 정수는 $\displaystyle 143$이다. 대학 예시답안의 $\displaystyle 142$는 3-3에도 앞의 근삿값 사용 조건을 적용한 결과이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[3-4]100명의 임상실험자 중 부작용이 발생하는 사람이 많아야 1명이기 위해서는 99명의 실험자의 $\displaystyle \mathrm{A}$의 혈중 농도의 최댓값이 100 ppm보다 작아야 한다. 확률변수 $\displaystyle X$가 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(a_n,\sigma^2)$을 따르면 $\displaystyle Z=\frac{X-a_n}{\sigma}$은 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$을 따른다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(Z\le2.33)=0.99$이므로Comment. 대학 예시답안은 100명 중 1명이라는 인원 조건을 확률 $\displaystyle 0.01$로 바꾸어 계산한다. 이 계산은 각 복용 주기에서 혈중 최대 농도가 $\displaystyle 100\,\mathrm{ppm}$ 이상인 사람 수의 기댓값이 1명 이하가 되도록 한다는 해석에 해당한다. 한 사람의 혈중 최대 농도를 $\displaystyle X$라 하면 $\displaystyle 100\mathrm P(X\ge100)\le1$, 즉 $\displaystyle \mathrm P(X\ge100)\le0.01$로 계산한다. 실제 해당 인원이 언제나 1명 이하로 정해진다는 뜻은 아니다.$\displaystyle \frac{X-a_n}{\sigma}\le2.33\Rightarrow X\le a_n+2.33\sigma$이다.

주기가 반복될 때 마다 체내 치료 성분의 농도는 지속적으로 증가하므로 모든 $\displaystyle a_n$에 대하여 $\displaystyle a_n+2.33\sigma<100$이려면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+2.33\sigma)<100$Caution. 부등식에서 극한을 취할 때는 등호가 성립할 가능성도 확인해야 한다: 이 문제에서 $\displaystyle a_n+2.33\sigma$는 극한값보다 작은 값을 유지하면서 증가한다. 따라서 모든 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n+2.33\sigma<100$이어도 그 극한값은 $\displaystyle 100$일 수 있다. 극한값에 대한 조건은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+2.33\sigma)\le100$으로 나타내야 한다. 이를 고려해도 $\displaystyle \sigma$의 최대 정수값은 $\displaystyle 12$이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.을 만족해야 한다.

$\displaystyle \beta=100$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=70.1$이고,$\displaystyle \sigma<12.8$이다. 따라서 정수인 $\displaystyle \sigma$의 최댓값은 $\displaystyle \sigma=12$이다.