약학과 3번

[3-1]첫 번째 약을 복용하기 직전의 $\displaystyle \mathrm{A}$의 혈중 농도는 0이고, 이는 첫 번째 주기에서의 최소 농도 $\displaystyle b_1$과 같다. 두 번째 약을 복용하기 직전의 $\displaystyle \mathrm{A}$의 혈중 농도는 $\displaystyle \alpha=0$일 때의 $\displaystyle f(24)$의 값과 같으므로$\displaystyle b_2=f(24)=0.54\times125\times e^{-\sqrt{2.2}}=0.54\times125\times0.23$이다. 마찬가지로 세 번째 약을 복용하기 직전의 $\displaystyle \mathrm{A}$의 혈중 농도는 세 번째 약을 복용한 주기에서의 최소 농도 $\displaystyle b_3$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha=b_2$일 때의 $\displaystyle f(24)$의 값과 같으므로$\displaystyle b_3=0.54\times125\times0.23+0.54\times125\times0.23^2=\frac{76383}{4000}\fallingdotseq19.1$이다.

[3-2]한 주기에서 $\displaystyle \mathrm{A}$의 혈중 농도가 최대가 되는 시기는 약을 복용한 후 2시간이 지났을 때이다. 그리고 한 주기에서 $\displaystyle \mathrm{A}$의 혈중농도가 최소가 되는 시기는 약을 복용한 직후이다. 첫 번째 약을 복용하기 직전의 치료 성분의 체내 농도가 5ppm이었으므로, $\displaystyle \alpha=5$이다. $\displaystyle \beta=100$이므로 첫 번째 주기에서의 치료 성분의 최대 농도 $\displaystyle a_1$과 최소 농도 $\displaystyle b_1$은 다음과 같다.$\displaystyle b_1=5$, $\displaystyle a_1=5+54=59$두 번째 주기에서 치료 성분의 최대 농도 $\displaystyle a_2$와 $\displaystyle b_2$는 다음과 같다.$\displaystyle b_2=59e^{-\sqrt{2.2}}=59\times0.23$, $\displaystyle a_2=59\times0.23+54$세 번째 주기에서 치료 성분의 최대 농도 $\displaystyle a_3$과 $\displaystyle b_3$는 다음과 같다.$\displaystyle b_3=(59\times0.23+54)\times0.23=59\times(0.23)^2+54\times0.23$, $\displaystyle a_3=59\times(0.23)^2+54\times0.23+54$이를 반복적으로 적용하면,$\displaystyle b_n=59\times(0.23)^{n-1}+54\times(0.23)^{n-2}+\cdots+54\times(0.23)$$\displaystyle a_n=59\times(0.23)^{n-1}+54\times(0.23)^{n-2}+\cdots+54$이다. 따라서 $\displaystyle a_n=b_n+54$$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}b_n&=\lim_{n\to\infty}\left[59\times(0.23)^{n-1}+\{54\times0.23+54\times(0.23)^2+\cdots+54\times(0.23)^{n-2}\}\right]\\&=\frac{54\times0.23}{1-0.23}=\frac{12.42}{0.77}=\frac{1242}{77}\fallingdotseq16.1\end{aligned}$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=54+\lim_{n\to\infty}b_n=54+16.1=70.1$

[3-3]치료 성분의 함량이 $\displaystyle \beta$인 약을 복용한 경우 $\displaystyle n$번째 주기에서의 최대 농도를 $\displaystyle a_n$이라 하자. $\displaystyle \alpha=0$일 때 이므로$\displaystyle a_n=\frac{54\beta}{100}+\frac{54\beta}{100}\times0.23+\frac{54\beta}{100}\times(0.23)^2+\cdots+\frac{54\beta}{100}\times(0.23)^{n-1}$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{0.54\beta}{0.77}=\frac{54\beta}{77}<100$이어야 하므로 $\displaystyle \beta<\frac{7700}{54}\fallingdotseq142.6$이다. 따라서 최대 정수인 $\displaystyle \beta=142$이다.

[3-4]100명의 임상실험자 중 부작용이 발생하는 사람이 많아야 1명이기 위해서는 99명의 실험자의 $\displaystyle \mathrm{A}$의 혈중 농도의 최댓값이 100 ppm보다 작아야 한다. 확률변수 $\displaystyle X$가 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(a_n,\sigma^2)$을 따르면 $\displaystyle Z=\frac{X-a_n}{\sigma}$은 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$을 따른다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(Z\le2.33)=0.99$이므로$\displaystyle \frac{X-a_n}{\sigma}\le2.33\Rightarrow X\le a_n+2.33\sigma$이다. 주기가 반복될 때 마다 체내 치료 성분의 농도는 지속적으로 증가하므로 모든 $\displaystyle a_n$에 대하여 $\displaystyle a_n+2.33\sigma<100$이려면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+2.33\sigma)<100$Caution. 모든 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n+2.33\sigma<100$이어도 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+2.33\sigma)=100$일 수 있다. 따라서 극한에 대한 필요조건은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+2.33\sigma)\le100$이며, 등호인 경우도 확인해야 한다.을 만족해야 한다. $\displaystyle \beta=100$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=70.1$이고,$\displaystyle \sigma<12.8$이다. 따라서 정수인 $\displaystyle \sigma$의 최댓값은 $\displaystyle \sigma=12$이다.