약학과 2번

[2-1]$\displaystyle f(g(x))=(x^2+2)e^x$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)=(2x)e^x+(x^2+2)e^x=(x^2+2x+2)e^x$. 여기서 $\displaystyle x^2+2x+2>0$.

∴ 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle (x^2+2x+2)e^x>0$ 이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)\ne0$ 이다.따라서 $\displaystyle g^{\prime}(x)$의 부호는 일정하다.$\displaystyle \frac{f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)}{f(g(x))}=\frac{(x^2+2x+2)e^x}{(x^2+2)e^x}=\frac{x^2+2x+2}{x^2+2}$따라서 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(g(x))}{f(g(x))}=\frac{x^2+2x+2}{(x^2+2)g^{\prime}(x)}$ 이다.한편, $\displaystyle \frac{e^x}{f(g(x))}=\frac{e^x}{(x^2+2)e^x}=\frac1{x^2+2}$그러므로$\displaystyle \frac{f^{\prime}(g(x))-e^x}{f(g(x))}=\frac{x^2+2x+2}{(x^2+2)g^{\prime}(x)}-\frac1{x^2+2}=\frac1{x^2+2}\left(\frac{x^2+2x+2}{g^{\prime}(x)}-1\right)$모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \frac{x(x^2+2x+2-g^{\prime}(x))}{(x^2+2)g^{\prime}(x)}=\frac{x(f^{\prime}(g(x))-e^x)}{f(g(x))}\le0$ 이므로

ⓐ $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$ 이면 $\displaystyle x(x^2+2x+2-g^{\prime}(x))\le0$ 이고

ⓑ $\displaystyle g^{\prime}(x)<0$ 이면 $\displaystyle x(x^2+2x+2-g^{\prime}(x))\ge0$ 이다.(참고)$\displaystyle g^{\prime}(x)<0$ 이면 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle (x^2+2x+2-g^{\prime}(x))\ge0$ 이다.이때 $\displaystyle x$가 음수인 경우 $\displaystyle x(x^2+2x+2-g^{\prime}(x))\le0$ 이므로 ⓑ 명제는 제시문 <가>의 조건인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 부등식 $\displaystyle \frac{x(f^{\prime}(g(x))-e^x)}{f(g(x))}\le0$에 맞지 않게 된다.

[2-2]2-2 문항에서 주어진 조건 $\displaystyle g(1)=g^{\prime}(1)=4$를 만족하는 함수 $\displaystyle g(x)$는 제시문 <가>의 부등식 $\displaystyle \frac{x(f^{\prime}(g(x))-e^x)}{f(g(x))}\le0$을 만족하지 않는 오류가 발생한다.

[2-3]이차함수 $\displaystyle u(x)$가 $\displaystyle x=\beta$에서 최소이므로 $\displaystyle x=\beta$에 대해 대칭이고, $\displaystyle u(0)=1$이므로 $\displaystyle u(x)=kx^2-2\beta kx+1$로 둘 수 있다.조건 $\displaystyle m(x-\beta)^2-v(x)(x-\beta)\ge0$를 정리하면 $\displaystyle (x-\beta)(v(x)-m(x-\beta))\le0$ 이므로$\displaystyle \begin{cases}v(x)\le m(x-\beta)&(x\ge\beta)\\v(x)\ge m(x-\beta)&(x<\beta)\end{cases}\quad\cdots\ (*)$임을 알 수 있다. $\displaystyle v(x)$는 연속함수이므로 $\displaystyle v(\beta)=0$이 되어$\displaystyle v(\beta)=(a\beta+b)e^{u(\beta)}=0$ 즉, $\displaystyle b=-a\beta$이다. 따라서 $\displaystyle v(x)=a(x-\beta)e^{u(x)}$이다. 이를 미분하면$\displaystyle v^{\prime}(x)=a(1+2k(x-\beta)^2)e^{kx^2-2\beta kx+1}$은 $\displaystyle k>0$, $\displaystyle a<0$이므로 항상 $\displaystyle v^{\prime}(x)<0$이다.$\displaystyle v^{\prime\prime}(x)=2ak(x-\beta)(2k(x-\beta)^2+3)e^{kx^2-2\beta kx+1}$는 $\displaystyle v^{\prime\prime}(\beta)=0$ 이고, $\displaystyle x=\beta$에서 부호가 양수에서 음수로 바뀌므로 변곡점이 된다.이때, (*)에 의해 $\displaystyle x=\beta$에서 직선 $\displaystyle y=m(x-\beta)$의 기울기가 $\displaystyle v(x)$의 접선의 기울기보다 크거나 같다는 것을 알 수 있다. $\displaystyle v^{\prime}(\beta)$는 직선 $\displaystyle y=m(x-\beta)$의 기울기 $\displaystyle m$중의 하나이고, $\displaystyle m\ge v^{\prime}(\beta)$로 나타낼 수 있다. $\displaystyle m$의 최솟값이 $\displaystyle -1$이므로 $\displaystyle v^{\prime}(\beta)=ae^{-k\beta^2+1}=-1$이 된다. 따라서 $\displaystyle a=-e^{k\beta^2-1}$이다.

조건을 치환적분하여 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^2v(x)\,dx&=\int_0^2a(x-\beta)e^{kx^2-2\beta kx+1}dx\\&=\frac{a}{2k}\Biggl[e^{kx^2-2\beta kx+1}\Biggr]_0^2=\frac{a}{2k}(e^{4k-4\beta k+1}-e)\\&=\frac{-e^{k\beta^2-1}(e^{4k-4\beta k+1}-e)}{2k}=\frac{-e^{k(\beta-2)^2}+e^{k\beta^2}}{2k}\end{aligned}$이고, 이는 $\displaystyle \frac{-e^{(\beta-2)^2}+e^{\beta^2}}{2k}$와 같으므로 $\displaystyle k=1$을 구할 수 있다.

$\displaystyle \int_0^2v(x)\,dx=\int_{-2u(\beta+1)}^2v(x)\,dx$에서$\displaystyle \int_0^2v(x)\,dx-\int_{-2u(\beta+1)}^2v(x)\,dx=\int_0^{-2u(\beta+1)}v(x)\,dx=0$이 된다.치환 적분하면$\displaystyle \int_{-2u(\beta+1)}^0-e^{\beta^2-1}(x-\beta)e^{x^2-2\beta x+1}dx=-\frac{e^{\beta^2-1}}2\Biggl[e^{x^2-2\beta x+1}\Biggr]_{-2u(\beta+1)}^0$이고,$\displaystyle -\frac12e^{\beta^2}\left(1-e^{4(u(\beta+1))^2+4\beta u(\beta+1)}\right)=0$이 되므로 $\displaystyle e^{4(u(\beta+1))^2+4\beta u(\beta+1)}=1$이다.이는 $\displaystyle 0=(u(\beta+1))^2+\beta u(\beta+1)=u(\beta+1)(u(\beta+1)+\beta)$이므로, $\displaystyle u(\beta+1)=-\beta$이다. ($\displaystyle \because u(\beta+1)\ne0$)

$\displaystyle u(\beta+1)=(\beta+1)^2-2\beta(\beta+1)+1=-\beta^2+2=-\beta$이고,$\displaystyle \beta^2-\beta-2=0$이므로 $\displaystyle \beta=-1$ ($\displaystyle \because\beta<0$)이다.따라서 $\displaystyle a=-1$이고, $\displaystyle b=-a\beta=-1$이고,함수 $\displaystyle u(x)=x^2+2x+1$와 $\displaystyle v(x)=-(x+1)e^{x^2+2x+1}$이 된다.

[2-4]$\displaystyle \beta=-1$이므로 곡선 $\displaystyle y=\ln\left|\frac{v(x)}{x-\beta}\right|=\ln\left|-\frac{(x+1)e^{(x+1)^2}}{x+1}\right|=(x+1)^2$ (단, $\displaystyle x\ne-1$)와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=2u(0)=2$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고

$\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 정사각형 단면의 넓이 $\displaystyle S(t)$는$\displaystyle S(t)=(t+1)^4$이므로

입체도형의 부피는$\displaystyle \int_0^2(t+1)^4dt=\frac{242}{5}$이다.