자연계열 1번

(a)

우선 그림으로부터 $\displaystyle a>0$의 조건을 얻는다. 직선 $\displaystyle AB$의 방정식 $\displaystyle y=\ell(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle y=\ell(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)$

직선 $\displaystyle DC$와 포물선이 접하는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}{2},f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\right)$이다. 따라서 선분 $\displaystyle BC$의 길이 $\displaystyle L$은 다음과 같다.$\displaystyle L=\ell\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)-f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)=\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}-f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)=\frac{a(x_2-x_1)^2}{4}$

그러므로 평행사변형 $\displaystyle ACDB$의 면적은 $\displaystyle a(x_2-x_1)^3/4$이다.

직선 $\displaystyle AB$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$로 둘러싸인 영역의 면적은 정적분을 이용하여 구하면 $\displaystyle a(x_2-x_1)^3/6$이다. 그러므로 면적의 비는 $\displaystyle 2:3$이 된다.

(b)

$\displaystyle g(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ ($\displaystyle a_n\ne0$)라 하면$\displaystyle A_1=\int_0^r\pi(g(x))^2\,dx=\pi\frac{a_n^2}{2n+1}r^{2n+1}+\cdots+\pi a_0^2r$이고$\displaystyle A_2=\pi(g(r))^2r=\pi a_n^2r^{2n+1}+\cdots+\pi a_0^2r$이다. $\displaystyle A_1=\frac{1}{5}A_2$에서 최고차항의 계수를 비교하면$\displaystyle \pi\frac{a_n^2}{2n+1}=\pi\frac{a_n^2}{5}$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle n=2$가 된다. 마지막 항의 계수를 비교하면 $\displaystyle \pi a_0^2=\frac{1}{5}\pi a_0^2$을 얻기 때문에 $\displaystyle a_0=0$이 된다. 그러므로 $\displaystyle g(x)=a_2x^2+a_1x$의 형태가 된다. 이것을 위의 식에 다시 대입하여 마지막 항의 계수를 다시 비교하면 $\displaystyle a_1=0$이 되어 $\displaystyle g(x)=a_2x^2$ ($\displaystyle a_2>0$)의 형태를 얻게 된다.