자연계열 1번

[1] (1) $\displaystyle g(1)=\displaystyle\sum_{n=1}^51^n=5$이고 $\displaystyle f(1)=\displaystyle\sum_{n=1}^{100}a_n1^n=\sum_{n=1}^{100}a_n$이다.

$\displaystyle f(1)=\{g(1)\}^{20}=5^{20}$이므로 $\displaystyle\sum_{n=1}^{100}a_n=5^{20}$이다.

한편 $\displaystyle g(-1)=\displaystyle\sum_{n=1}^5(-1)^n=-1$이고 $\displaystyle f(-1)=\displaystyle\sum_{n=1}^{100}a_n(-1)^n$이다.

$\displaystyle f(-1)=\{g(-1)\}^{20}=1$이므로 $\displaystyle\sum_{n=1}^{100}a_n(-1)^n=1$이다.

그런데 $\displaystyle 2\displaystyle\sum_{n=1}^{50}a_{2n}=\sum_{n=1}^{100}a_n+\sum_{n=1}^{100}a_n(-1)^n=5^{20}+1$이므로 $\displaystyle\sum_{n=1}^{50}a_{2n}=\dfrac12(5^{20}+1)$이다.

(2) 다항식 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x^2+x+1$로 나누어떨어지므로 $\displaystyle f(x)=(x^2+x+1)Q$인 다항식 $\displaystyle Q$가 존재한다.

$\displaystyle x^2+x+1=0$을 만족하는 한 허근을 $\displaystyle w$라 하면 $\displaystyle w^2+w+1=0$이고 $\displaystyle f(w)=0$이다.

한편 $\displaystyle w^3-1=(w-1)(w^2+w+1)=0$이므로 $\displaystyle w^3=1$이다. 따라서

$\displaystyle f(w)=\sum_{n=1}^{100}a_nw^n=(a_3+a_1w+a_2w^2)+(a_6+a_4w+a_5w^2)+\cdots+(a_{99}+a_{97}w+a_{98}w^2)+a_{100}w$

$\displaystyle =\sum_{n=1}^{33}a_{3n}+\sum_{n=1}^{33}a_{3n-2}w+\sum_{n=1}^{33}a_{3n-1}w^2+a_{100}w$이고

가정에 의하여 $\displaystyle\sum_{n=1}^{33}a_{3n}=\sum_{n=1}^{33}a_{3n-2}=\sum_{n=1}^{33}a_{3n-1}$이므로

$\displaystyle f(w)=\sum_{n=1}^{33}a_{3n}(1+w+w^2)+a_{100}w=a_{100}w$이다.

$\displaystyle f(w)=0$이므로 $\displaystyle a_{100}w=0$이고 $\displaystyle w\ne0$이므로 $\displaystyle a_{100}=0$이다.

[2] (1) 제시문 3으로부터 $\displaystyle \mathbb{N}=\{1,2,3,\cdots\}$은 무한집합이고 $\displaystyle \mathbb{N}\subset\mathbb{R}$이므로 $\displaystyle \mathbb{R}$은 무한집합이다.

만일 $\displaystyle \mathbb{R}-X$가 유한집합이라 가정하면

$\displaystyle \mathbb{R}=X\cup(\mathbb{R}-X)$이고 $\displaystyle X$가 유한집합이므로 $\displaystyle \mathbb{R}$은 유한집합이다. 그런데 이것은 $\displaystyle \mathbb{R}$이 무한집합이라는 사실에 모순이다. 따라서 $\displaystyle \mathbb{R}-X$는 무한집합이다.

(2) $\displaystyle Y=\{t\mid-t^2\le t\le t^2,~t\text{는 실수}\}\cap\{t\mid0<t\le2,~t\text{는 실수}\}=\{t\mid1\le t\le2,~t\text{는 실수}\}$이다.

따라서 $\displaystyle Y\cap\mathbb{Z}=\{1,2\}$이다.

그러므로 $\displaystyle Y\cap\mathbb{Z}$는 유한집합이고 (1)의 결과에 의하여 $\displaystyle \mathbb{R}-(Y\cap\mathbb{Z})$는 무한집합이다.

그런데 $\displaystyle (\mathbb{R}-Y)\cup(\mathbb{R}-\mathbb{Z})=\mathbb{R}-(Y\cap\mathbb{Z})$이므로

$\displaystyle (\mathbb{R}-Y)\cup(\mathbb{R}-\mathbb{Z})$는 무한집합이다.

[3] (1) 모든 $\displaystyle a\in X$에 대하여 $\displaystyle (g\circ f)(a)=(g\circ f\circ g)(a)$이므로 $\displaystyle g(f(a))=g(f(g(a)))$이다.

그런데 $\displaystyle g$가 일대일함수이므로 $\displaystyle f(a)=f(g(a))$이다.

또한 $\displaystyle f$가 일대일함수이므로 $\displaystyle g(a)=a$이고

$\displaystyle g(X)=X$이므로 $\displaystyle g$는 일대일대응이고 $\displaystyle g$의 역함수 $\displaystyle g^{-1}$가 존재한다.

모든 $\displaystyle a\in X$에 대하여 $\displaystyle g(a)=a$이므로 $\displaystyle g^{-1}(a)=a$이다. 따라서 $\displaystyle g^{-1}(7)=7$이다.

(2) 집합 $\displaystyle X$에서 $\displaystyle \mathbb{Z}$로의 일대일대응 $\displaystyle h:X\to\mathbb{Z}$가 존재한다고 가정하자. 그러면 $\displaystyle h(X)=\mathbb{Z}$이다.

그런데 $\displaystyle n(X)=13$이므로

$\displaystyle h(X)$는 유한집합이고 $\displaystyle \mathbb{Z}$는 무한집합이므로 모순이다. 따라서 $\displaystyle h(X)\ne\mathbb{Z}$이므로 $\displaystyle h$는 일대일대응이 아니다. 즉, $\displaystyle X$에서 $\displaystyle \mathbb{Z}$로의 일대일대응인 함수가 존재하지 않는다.