자연계열 2번

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광운대 2020학년도 수시 오후 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/kw/2020su_pm/jayeon_2

[문제 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여

㉠ $\displaystyle f^{\prime}(x) >0$ 이면 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 는 이 구간에서 증가한다.

㉡ $\displaystyle f^{\prime}(x) < 0$ 이면 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 는 이 구간에서 감소한다.

2. 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 구간에서

㉠ $\displaystyle f^{\prime\prime}(x) >0$ 이면 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 는 이 구간에서 아래로 볼록하다.

㉡ $\displaystyle f^{\prime\prime}(x) < 0$ 이면 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 는 이 구간에서 위로 볼록하다.

곡선 $\displaystyle y = f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a, f(a))$ 에 대하여 $\displaystyle x = a$ 의 좌우에서 곡선의 볼록 상태가 바뀔 때,

이 점을 곡선 $\displaystyle y = f(x)$ 의 변곡점이라고 한다.

3. 두 함수 $\displaystyle y = f(u)$ , $\displaystyle u =g(x)$ 가 미분가능할 때, 합성함수 $\displaystyle y = f(g(x))$ 는 미분가능하며, 그 도함수는 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ 또는 $\displaystyle y^{\prime} = f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)$

4. (평균값 정리) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)$ ( $\displaystyle a<c<b$ )인 $\displaystyle c$ 가 적어도 하나 존재한다.

5. 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ , $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 연속일 때,

$\displaystyle \int_a^b f(x) g^{\prime}(x) dx = \Biggl[ f(x) g(x) \Biggr]_a^b - \int_a^b f^{\prime}(x) g(x) dx$

6. 구간 $\displaystyle [a, b]$ 에서 임의의 점 $\displaystyle x$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 넓이가 $\displaystyle S(x)$ 인 입체도형의 부피 $\displaystyle V$ 는

$\displaystyle V = \int_a^b S(x) dx$ (단, $\displaystyle S(x)$ 는 구간 $\displaystyle [a, b]$ 에서 연속)

[1] 함수 $\displaystyle f(x)=\sin x-x\cos x$ ( $\displaystyle -2\pi\le x\le2\pi$ )에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 최댓값과 최솟값을 구하시오. [8점]

(2) 구간 $\displaystyle \left ( \pi , \frac{3 \pi }{2} \right )$ 에서 곡선 $\displaystyle y = f(x)$ 의 변곡점이 존재하는지를 판정하고 그 이유를 설명하시오. [6점]

(3) 함수 $\displaystyle g(x)= ( f \circ f)(x)$ 에 대하여 $\displaystyle g^{\prime}(x)= 1$ 을 만족하는 $\displaystyle x$ 가 구간 $\displaystyle ( \pi , 2 \pi )$ 에 적어도 하나 존재함을보이시오. [7점]

[2] 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y = (\ln x)^n$ 과 $\displaystyle x$ 축 및 직선 $\displaystyle x = e$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_n$ 이라 할 때,

다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle S_{1}$ 을 구하시오. [5점]

(2) $\displaystyle S_{n+1}+(n+1)S_n$ 을 구하시오. [7점]

(3) 곡선 $\displaystyle y = \ln x$ 와 $\displaystyle x$ 축 및 직선 $\displaystyle x = e$ 로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형을 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 반원일 때, 이 입체의 부피 $\displaystyle V$ 를 구하시오. [8점]

[3] 다음 두 조건을 모두 만족하는 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 를 구하시오. [9점]

(가) $\displaystyle e^x(f(x)+f^{\prime}(x))=g(x)$

(나) $\displaystyle\int_0^xg(t)\,dt=e^{x^2}-f(0)$

해설강의 준비중

부분적분법

관련 개념강의 준비중

광운대 2020학년도 수시 오후 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/kw/2020su_pm/jayeon_2

+2점 ·

\displaystyle f^{\prime}(x)=x\sin x=0

의 해

\displaystyle x=0,~\pm\pi,~\pm2\pi

를 구했으면

[1] (1) 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle (-2\pi,2\pi)$ 에서 미분가능하며 $\displaystyle f^{\prime}(x)=x\sin x$ 이다.

따라서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 의 해는 $\displaystyle x=0,~\pm\pi,~\pm2\pi$ 이다.

+4점 · 함숫값을 비교해서 최대, 최소가 되는 점을 찾았으면

제시문 1에 의하여 구간 $\displaystyle [-2\pi,2\pi]$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x$	$-2\pi$	⋯	$-\pi$	⋯	0	⋯	$\pi$	⋯	$2\pi$
$f^{\prime}(x)$	0	−	0	+	0	+	0	−	0
$f(x)$	$2\pi$	↘	$-\pi$	↗	0	↗	$\pi$	↘	$-2\pi$

+2점 · 최댓값

\displaystyle 2\pi

, 최솟값

\displaystyle -2\pi

를 구했으면

위의 표로부터 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=-2\pi$ 일 때 최대이고 최댓값은 $\displaystyle 2\pi$ , $\displaystyle x=2\pi$ 일 때 최소이고 최솟값은 $\displaystyle -2\pi$ 이다.

+1점 ·

\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\sin x+x\cos x

를 구했으면

(2) $\displaystyle f(x)$ 의 이계도함수는 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\sin x+x\cos x$ 이고,

+3점 ·

\displaystyle \pi<x<\dfrac{3\pi}2

에서

\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0

임을 보였으면

$\displaystyle \pi<x<\dfrac{3\pi}2$ 일 때 $\displaystyle \sin x<0,~\cos x<0$ 이다.

따라서 이 구간에서 항상 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$ 이므로

+2점 · 변곡점은 존재하지 않는다고 판정했으면

제시문 2에 의하여 변곡점은 존재하지 않는다.

+3점 · 평균값 정리를 올바르게 적용했으면

(3) 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 미분가능하므로 제시문 3에 의하여 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 미분가능하다.

$\displaystyle g(x)$ 는 구간 $\displaystyle [\pi,2\pi]$ 에서 연속이고 구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 미분가능하므로 평균값 정리(제시문 4)에 의하여

$\displaystyle \dfrac{g(2\pi)-g(\pi)}{2\pi-\pi}=g^{\prime}(c),\quad\pi<c<2\pi$

을 만족하는 $\displaystyle c$ 가 적어도 하나 존재한다.

+2점 ·

\displaystyle g(2\pi)=2\pi,~g(\pi)=\pi

를 구했으면

그런데 $\displaystyle g(2\pi)=f(f(2\pi))=f(-2\pi)=2\pi,~g(\pi)=f(f(\pi))=f(\pi)=\pi$ 이므로

+2점 ·

\displaystyle g^{\prime}(x)=1

을 만족하는

\displaystyle x

가

\displaystyle (\pi,2\pi)

에 존재한다는 것을 보였으면

$\displaystyle g^{\prime}(c)=\dfrac{2\pi-\pi}\pi=1$ 을 만족하는 $\displaystyle c$ 가 구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에 적어도 하나 존재한다.

따라서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=1$ 을 만족하는 $\displaystyle x$ 가 구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에 적어도 하나 존재한다.

+2점 · 도형의 넓이

\displaystyle S_1=\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx

임을 설명했으면

[2] (1) 제시문 5의 부분적분법에 의하여

$\displaystyle S_1=\int_1^e\ln x\,dx$

+3점 ·

\displaystyle S_1=1

을 구했으면

$\displaystyle =\Biggl[x\ln x\Biggr]_1^e-\int_1^ex\left(\dfrac1x\right)dx=e-\Biggl[x\Biggr]_1^e=1$

+2점 ·

\displaystyle S_{n+1}=\displaystyle\int_1^e(\ln x)^{n+1}\,dx

임을 설명했으면

(2) 제시문 5의 부분적분법으로 적분을 계산하면

$\displaystyle S_{n+1}=\int_1^e(\ln x)^{n+1}\,dx$

+3점 · 부분적분법으로

\displaystyle\int_1^e(\ln x)^{n+1}\,dx

를 구했으면

$\displaystyle =\Biggl[x(\ln x)^{n+1}\Biggr]_1^e-\int_1^e(n+1)(\ln x)^n\,dx$

$\displaystyle =\Biggl[x(\ln x)^{n+1}\Biggr]_1^e-(n+1)\int_1^e(\ln x)^n\,dx=e-(n+1)S_n$

+2점 ·

\displaystyle S_{n+1}+(n+1)S_n=e

를 구했으면

따라서 $\displaystyle S_{n+1}+(n+1)S_n=e$ 이다.

+2점 · 단면의 넓이

\displaystyle S(x)=\dfrac12\pi\left(\dfrac{\ln x}2\right)^2

을 구했으면

(3) 입체도형의 단면의 넓이를 $\displaystyle S(x)$ 라고 하면, 단면은 지름이 $\displaystyle \ln x$ 인 반원이므로

$\displaystyle S(x)=\dfrac12\pi\left(\dfrac{\ln x}2\right)^2$ 이다. 제시문 6에 의하여 입체도형의 부피 $\displaystyle V$ 는 다음과 같다.

+3점 · 정적분

\displaystyle\int_1^e(\ln x)^2\,dx

를 구했으면

$\displaystyle V=\int_1^eS(x)\,dx=\int_1^e\dfrac12\pi\left(\dfrac{\ln x}2\right)^2dx=\dfrac\pi8\int_1^e(\ln x)^2\,dx=\dfrac\pi8S_2$

(1)과 (2)에서 $\displaystyle S_1=1,~S_2+2S_1=e$ 이므로 $\displaystyle S_2=e-2S_1=e-2$ 이다.

+3점 · 부피

\displaystyle V=\dfrac\pi8(e-2)

를 구했으면

따라서 입체의 부피는 $\displaystyle V=\dfrac\pi8(e-2)$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle\int_0^x\{e^tf(t)\}^{\prime}\,dt=\int_0^xg(t)\,dt

임을 설명했으면

[3] 조건 (가)에서 $\displaystyle \{e^xf(x)\}^{\prime}=g(x)$ 이다.

이 식의 양변을 적분하면 $\displaystyle\int_0^x\{e^tf(t)\}^{\prime}\,dt=\int_0^xg(t)\,dt$ 이다.

+4점 ·

\displaystyle f(x)=e^{x^2-x}

를 구했으면

위 식의 좌변은 $\displaystyle\int_0^x\{e^tf(t)\}^{\prime}\,dt=\Biggl[e^tf(t)\Biggr]_0^x=e^xf(x)-f(0)$ 이므로

조건 (나)에서 $\displaystyle e^xf(x)-f(0)=e^{x^2}-f(0)$ 이다.

이 식을 정리하면 $\displaystyle f(x)=e^{x^2-x}$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle g(x)=2xe^{x^2}

를 구했으면

조건 (가)로부터 $\displaystyle g(x)=\{e^xf(x)\}^{\prime}=\left(e^{x^2}\right)^{\prime}=2xe^{x^2}$ 이다.

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