자연계열 2번

[1] (1) 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle (-2\pi,2\pi)$에서 미분가능하며 $\displaystyle f^{\prime}(x)=x\sin x$이다.

따라서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=0,~\pm\pi,~\pm2\pi$이다.

제시문 1에 의하여 구간 $\displaystyle [-2\pi,2\pi]$에서 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

위의 표로부터 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-2\pi$일 때 최대이고 최댓값은 $\displaystyle 2\pi$, $\displaystyle x=2\pi$일 때 최소이고 최솟값은 $\displaystyle -2\pi$이다.

(2) $\displaystyle f(x)$의 이계도함수는 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\sin x+x\cos x$이고,

$\displaystyle \pi<x<\dfrac{3\pi}2$일 때 $\displaystyle \sin x<0,~\cos x<0$이다.

따라서 이 구간에서 항상 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이므로 제시문 2에 의하여 변곡점은 존재하지 않는다.

(3) 함수 $\displaystyle f(x)$는 미분가능하므로 제시문 3에 의하여 함수 $\displaystyle g(x)$는 미분가능하다.

$\displaystyle g(x)$는 구간 $\displaystyle [\pi,2\pi]$에서 연속이고 구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 미분가능하므로 평균값 정리(제시문 4)에 의하여

$\displaystyle \dfrac{g(2\pi)-g(\pi)}{2\pi-\pi}=g^{\prime}(c),\quad\pi<c<2\pi$

을 만족하는 $\displaystyle c$가 적어도 하나 존재한다.

그런데 $\displaystyle g(2\pi)=f(f(2\pi))=f(-2\pi)=2\pi,~g(\pi)=f(f(\pi))=f(\pi)=\pi$이므로

$\displaystyle g^{\prime}(c)=\dfrac{2\pi-\pi}\pi=1$을 만족하는 $\displaystyle c$가 구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에 적어도 하나 존재한다.

따라서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=1$을 만족하는 $\displaystyle x$가 구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에 적어도 하나 존재한다.

[2] (1) 제시문 5의 부분적분법에 의하여

$\displaystyle S_1=\int_1^e\ln x\,dx=\Biggl[x\ln x\Biggr]_1^e-\int_1^ex\left(\dfrac1x\right)dx=e-\Biggl[x\Biggr]_1^e=1$

(2) 제시문 5의 부분적분법으로 적분을 계산하면

$\displaystyle S_{n+1}=\int_1^e(\ln x)^{n+1}\,dx=\Biggl[x(\ln x)^{n+1}\Biggr]_1^e-\int_1^e(n+1)(\ln x)^n\,dx$

$\displaystyle =\Biggl[x(\ln x)^{n+1}\Biggr]_1^e-(n+1)\int_1^e(\ln x)^n\,dx=e-(n+1)S_n$

따라서 $\displaystyle S_{n+1}+(n+1)S_n=e$이다.

(3) 입체도형의 단면의 넓이를 $\displaystyle S(x)$라고 하면, 단면은 지름이 $\displaystyle \ln x$인 반원이므로

$\displaystyle S(x)=\dfrac12\pi\left(\dfrac{\ln x}2\right)^2$이다. 제시문 6에 의하여 입체도형의 부피 $\displaystyle V$는 다음과 같다.

$\displaystyle V=\int_1^eS(x)\,dx=\int_1^e\dfrac12\pi\left(\dfrac{\ln x}2\right)^2dx=\dfrac\pi8\int_1^e(\ln x)^2\,dx=\dfrac\pi8S_2$

(1)과 (2)에서 $\displaystyle S_1=1,~S_2+2S_1=e$이므로 $\displaystyle S_2=e-2S_1=e-2$이다.

따라서 입체의 부피는 $\displaystyle V=\dfrac\pi8(e-2)$이다.

[3] 조건 (가)에서 $\displaystyle \{e^xf(x)\}^{\prime}=g(x)$이다.

이 식의 양변을 적분하면 $\displaystyle\int_0^x\{e^tf(t)\}^{\prime}\,dt=\int_0^xg(t)\,dt$이다.

위 식의 좌변은 $\displaystyle\int_0^x\{e^tf(t)\}^{\prime}\,dt=\Biggl[e^tf(t)\Biggr]_0^x=e^xf(x)-f(0)$이므로

조건 (나)에서 $\displaystyle e^xf(x)-f(0)=e^{x^2}-f(0)$이다.

이 식을 정리하면 $\displaystyle f(x)=e^{x^2-x}$이다.

조건 (가)로부터 $\displaystyle g(x)=\{e^xf(x)\}^{\prime}=\left(e^{x^2}\right)^{\prime}=2xe^{x^2}$이다.