자연계열 1번

[1]

(1) $\displaystyle f(4 x)= \sin 4 \pi x=0$에서 $\displaystyle 0 \le x \le 1$이므로 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle \frac{1}{4}$, $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{3}{4}$, $\displaystyle 1$이고

$\displaystyle g(6 x)= \cos 6 \pi x=0$에서 $\displaystyle 0 \le x \le 1$이므로 $\displaystyle x=\frac{1}{12}$, $\displaystyle \frac{1}{4}$, $\displaystyle \frac{5}{12}$, $\displaystyle \frac{7}{12}$, $\displaystyle \frac{3}{4}$, $\displaystyle \frac{11}{12}$이다.

$\displaystyle A=\left\{0,\frac14,\frac12,\frac34,1\right\}$, $\displaystyle B=\left\{\frac1{12},\frac14,\frac5{12},\frac7{12},\frac34,\frac{11}{12}\right\}$이므로 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$의 합집합과 교집합은 각각

$\displaystyle A\cup B=\left\{0,\frac1{12},\frac14,\frac5{12},\frac12,\frac7{12},\frac34,\frac{11}{12},1\right\}$, $\displaystyle A\cap B=\left\{\frac14,\frac34\right\}$이다.

(2) 드 모르간의 법칙에 의하여 $\displaystyle A^{C}\cap B^{C}=(A\cup B)^{C}$이고, $\displaystyle (A\cup B)^{C}=U-(A\cup B)$이다.

$\displaystyle n(U)=25$, $\displaystyle n(A\cup B)=9$이고, $\displaystyle n(U)=n(A\cup B)+n \left ((A\cup B)^{C} \right )$이므로

$\displaystyle n \left ((A\cup B)^{C} \right )=n(U)-n(A\cup B)=25-9=16$

[2]

(1) $\displaystyle A=\frac{ \pi }{2}$이므로, $\displaystyle B+C=\frac{ \pi }{2}$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\sin A+\sin B+\sin C&=1+\sin B+\sin\left(\frac\pi2-B\right)\\&=1+\sin B+\cos B\\&=1+\sin B+\sqrt{1-\sin^2 B}\end{aligned}$ …… ① ($\displaystyle \because\cos B>0$)

$\displaystyle \sin B=x ~ (0<x<1)$라 하면

식 ①의 최댓값은 $\displaystyle f(x)=1+x+ \sqrt {1-x^{2}}$의 최댓값이다.

$\displaystyle f ^{\prime} (x)=1-\frac{x}{ \sqrt {1-x^{2}}}=0$으로부터 $\displaystyle x=\frac{ \sqrt {2}}{2}$

그러므로 $\displaystyle 0<x<1$에서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle f \left (\frac{ \sqrt {2}}{2} \right )=1+ \sqrt {2}$이므로

식 ①의 최댓값은 $\displaystyle 1+ \sqrt {2}$

(2) 삼각형 $\displaystyle A B C$의 외접원의 반지름을 $\displaystyle R$라고 할 때,

사인법칙으로부터 $\displaystyle \sin A=\frac{a}{2 R}$, $\displaystyle ~ \sin B=\frac{b}{2 R}$, $\displaystyle ~ \sin C=\frac{c}{2 R}\cdots \cdots$ ②

문제에서 주어진 식에 ②를 대입하면 $\displaystyle \frac{1}{4 R^{2}} \left (a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A-2 c a \cos B-2 a b \cos C \right )$

코사인법칙으로부터 주어진 식의 값은

$\displaystyle \frac{1}{4 R^{2}} \left (a^{2}+b^{2}+c^{2}+a^{2}-b^{2}-c^{2}+b^{2}-c^{2}-a^{2}+c^{2}-a^{2}-b^{2} \right )=0$

[3]

(1) 두 점 $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$ 를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{d-b}{c-a}$이므로 이 직선과 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{c-a}{d-b}$

(여기서 $\displaystyle d-b\ne 0$인데 왜냐하면, 만약 $\displaystyle d=b$라면 $\displaystyle \sqrt {-(c+1)}-1= \sqrt {-(a+1)}-1$이므로 $\displaystyle c=a$가 되지만 문제의 조건에서 $\displaystyle a<c$라고 했기 때문이다.)

점 $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$ 가 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점이므로 $\displaystyle (b+1)^{2}=-(a+1)$이고 $\displaystyle (d+1)^{2}=-(c+1)$

두 식의 차는 $\displaystyle (b+1)^{2}-(d+1)^{2}=c-a$이므로

$\displaystyle -\frac{c-a}{d-b}=\frac{(d+1)^{2}-(b+1)^{2}}{d-b}=d+b+2=3$

(2) 직선 $\displaystyle y=g(x)$가 $\displaystyle (-1, -1)$을 지날 때 $\displaystyle k=1$

곡선 $\displaystyle y= \sqrt {-(x+1)}-1$와 직선 $\displaystyle y=k x$가 접할 때

$\displaystyle k$값을 구하기 위하여 두 식을 연립하면 $\displaystyle k x+1= \sqrt {-(x+1)}$

양변을 제곱하여 $\displaystyle x$에 대한 이차방정식 꼴로 정리하면

$\displaystyle k^{2} x^{2}+(2 k+1) x+2=0\cdots \cdots$ ①

판별식 $\displaystyle D=(2 k+1)^{2}-8 k^{2}=0$으로부터

$\displaystyle k=\frac{1 \pm \sqrt {2}}{2}$

오른쪽 그림과 같이 두 그래프가 만날 때 $\displaystyle k \le 1$이므로

$\displaystyle k=\frac{1- \sqrt {2}}{2}$

그러므로 구하는 $\displaystyle k$값의 범위는 $\displaystyle \frac{1- \sqrt {2}}{2} \le k \le 1$

(3) $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$가 접할 때 $\displaystyle k=\frac{1- \sqrt {2}}{2}$이고 식 ①의 판별식이 $\displaystyle 0$이므로 접점의 $\displaystyle x$좌표는

$\displaystyle x=\dfrac{-(2k+1)}{2k^2}=\dfrac{-(2-\sqrt2)}{\dfrac{(1-\sqrt2)^2}2}=\dfrac{-2(2-\sqrt2)}{3-2\sqrt2}=-2(2+\sqrt2)$

접점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=k x= \sqrt {2}$

$\displaystyle y=f(x)= \sqrt {-(x+1)}-1$에서 $\displaystyle x$를 $\displaystyle y$에 대해 정리하면 $\displaystyle x=h(y)=-y^{2}-2 y-2$

구하는 영역의 넓이 (위 그림의 $\displaystyle S_1+S_2$)는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y$축 및 두 직선 $\displaystyle y=-1$, $\displaystyle y= \sqrt {2}$로 둘러싸인 영역의 넓이 $\displaystyle S$와 삼각형 영역의 넓이 $\displaystyle T$(위 그림의 $\displaystyle T_{1}+T_{2}$)의 차와 같다.

$\displaystyle S= \int_{-1}^{ \sqrt {2}}|h(y)| d y= \int_{-1}^{ \sqrt {2}} \left (y^{2}+2 y+2 \right ) d y= \Biggl[\frac{y^{3}}{3}+y^{2}+2 y \Biggr]_{-1}^{ \sqrt {2}}=\frac{10}{3}+\frac{8}{3} \sqrt {2}$

$\displaystyle T=\frac{1}{2}\cdot 2(2+ \sqrt {2})\cdot \sqrt {2}+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{5}{2}+2 \sqrt {2}$

$\displaystyle S-T=\frac{5}{6}+\frac{2}{3} \sqrt {2}$