자연계열 2번

[1]

(1) $\displaystyle (1+x)^{5}(1+x)^{5}= \left ( {}_{5}\mathrm{C}_{0}+ {}_{5}\mathrm{C}_{1} x+ \cdots + {}_{5}\mathrm{C}_{5} x^{5} \right ) \left ( {}_{5}\mathrm{C}_{0}+ {}_{5}\mathrm{C}_{1} x+ \cdots + {}_{5}\mathrm{C}_{5} x^{5} \right )$에서$\displaystyle x^{5}$의 계수는 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{0}\cdot {}_{5}\mathrm{C}_{5}+ {}_{5}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{5}\mathrm{C}_{4}+ \cdots + {}_{5}\mathrm{C}_{5}\cdot {}_{5}\mathrm{C}_{0} \cdots \cdots$①

여기서 $\displaystyle {}_5\mathrm C_k={}_5\mathrm C_{5-k}$ ($\displaystyle 0\le k\le5$인 정수)이므로 식 ①을 다시 쓰면

$\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{0}\cdot {}_{5}\mathrm{C}_{5}+ {}_{5}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{5}\mathrm{C}_{4}+ \cdots + {}_{5}\mathrm{C}_{5}\cdot {}_{5}\mathrm{C}_{0}= \sum _{i=0}^{5} \left ( {}_{5}\mathrm{C}_{i} \right )^{2} \cdots \cdots$ ②

한편 $\displaystyle (1+x)^{10}= {}_{10}\mathrm{C}_{0}+ {}_{10}\mathrm{C}_{1} x+ \cdots + {}_{10}\mathrm{C}_{10} x^{10}$에서 $\displaystyle x^{5}$의 계수는 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_{5} \cdots \cdots$③

$\displaystyle (1+x)^{10}$과 $\displaystyle (1+x)^{5}(1+x)^{5}$에서 $\displaystyle x^{5}$의 계수는 같다.

그러므로 ②와 ③으로부터

$\displaystyle \sum _{i=0}^{5} \left ( {}_{5}\mathrm{C}_{i} \right )^{2}= {}_{p}\mathrm{C}_{q}= {}_{10}\mathrm{C}_{5}$

또한 $\displaystyle \sum _{i=0}^{5} \left ( {}_{5}\mathrm{C}_{i} \right )^{2}=252$에서 $\displaystyle {}_{252}\mathrm{C}_{1}=252$, $\displaystyle ~ {}_{252}\mathrm{C}_{251}=252$이므로

$\displaystyle p+q=15$ 또는 $\displaystyle p+q=253$ 또는 $\displaystyle p+q=503$

(2) $\displaystyle 2021^{10}=(-1+3\cdot 674)^{10}= {}_{10}\mathrm{C}_{0}(-1)^{10}+ {}_{10}\mathrm{C}_{1}(-1)^{9}\cdot(3\cdot 674)+ \cdots + {}_{10}\mathrm{C}_{10}(3\cdot 674)^{10}$이므로

$\displaystyle 2021^{10}$을 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지는 $\displaystyle 1$

$\displaystyle 2021^{10}=(-2+7\cdot 289)^{10}= {}_{10}\mathrm{C}_{0}(-2)^{10}+ {}_{10}\mathrm{C}_{1}(-2)^{9}\cdot(7\cdot 289)+ \cdots + {}_{10}\mathrm{C}_{10}(7\cdot 289)^{10}$이므로

$\displaystyle 2021^{10}$을 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지는 $\displaystyle (-2)^{10}=1024$를 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지와 같다.

$\displaystyle 1024=7\cdot 146+2$이므로

$\displaystyle 2021^{10}$을 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지는 $\displaystyle 2$

(3) (2)로부터

$\displaystyle 2021^{10}=3a+1$ ($\displaystyle a$는 정수)

$\displaystyle 2021^{10}=7b+2$ ($\displaystyle b$는 정수)

위의 두 식으로부터 $\displaystyle 7 b=2021^{10}-2=(3 a+1)-2=3(a-1)+2 \cdots \cdots$ ④

여기서 $\displaystyle b$를 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지는 $\displaystyle 0$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$ 중 하나이다.

나머지가 $\displaystyle 0$인 경우, 식 ④의 좌변과 우변을 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지가 일치하지 않는다.

나머지가 $\displaystyle 1$인 경우 $\displaystyle 7(3 c+1)=3(7 c+2)+1$ ($\displaystyle c$는 정수)이므로 식 ④의 좌변과 우변을 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지가 일치하지 않는다.

그러므로 $\displaystyle b$를 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지는 $\displaystyle 2$이다. 즉, $\displaystyle b=3 d+2$($\displaystyle d$는 정수)

식 ④로부터 $\displaystyle 2021^{10}=7 b+2=7(3 d+2)+2=21 d+16$

그러므로 $\displaystyle 2021^{10}$을 $\displaystyle 21$로 나눈 나머지는 $\displaystyle 16$

[2]

(1) $\displaystyle a=0$일 때, $\displaystyle g(x)=1$이므로 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=1$의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 구하자.

$\displaystyle x<0$에서는 $\displaystyle f(x)=3>1$이고, $\displaystyle x \ge 0$에서는 $\displaystyle (x-2)^{2}=1$이므로 구하는 $\displaystyle x=1$, $\displaystyle 3$이다.

함수 $\displaystyle h(x)$의 정의로부터 $\displaystyle h(x)=\begin{cases}1&(x<1)\\(x-2)^2&(1\le x\le3)\\1&(x>3)\end{cases}$

두 함수 $\displaystyle y=x^{2}$과 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프의 교점을 구하면 $\displaystyle x \le 1$에서 $\displaystyle x^{2}=1$이므로 $\displaystyle x=-1$, $\displaystyle 1$이다.

구하는 넓이를 $\displaystyle S$라 하면 $\displaystyle S= \int_{-1}^{1} \left (1-x^{2} \right ) d x=\frac{4}{3}$이다.

(2) 직선 $\displaystyle y=a x+1$이 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 접하는 경우는 $\displaystyle x \ge 0$에서 곡선 $\displaystyle y=(x-2)^{2}$과 접하는 경우이다. $\displaystyle x^{2}-(a+4) x+3=0$으로부터 $\displaystyle D=(a+4)^{2}-12=a^{2}+8 a+4=0$이고 $\displaystyle a=-4 \pm 2 \sqrt {3}$를 얻는다.

$\displaystyle a=-4-2 \sqrt {3}$일 때는 $\displaystyle y=g(x)$와 곡선 $\displaystyle y=(x-2)^{2}$이 $\displaystyle x<0$에서 접하는 경우이므로 제외한다.

따라서 $\displaystyle a=-4+2 \sqrt {3}$이다.

(3) 함수 $\displaystyle h(x)$를 이루는 두 함수에 대해, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle 0$을 제외한 모든 실수에서, $\displaystyle g(x)$는 모든 실수에서 미분가능하므로, 함수 $\displaystyle h(x)$의 미분가능하지 않은 점은 두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$의 그래프의 교점일 수 있다.

두 함수 $\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle y=f(x)$가 접하는 범위는 $\displaystyle x \ge 0$이다. 그때의 기울기는 (2)로부터 $\displaystyle a=-4+2 \sqrt {3}$이다.

(i) $\displaystyle a \ge 0$인 경우

$\displaystyle x<0$에서 두 함수 $\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle y=f(x)=3$은 교점이 없다.

$\displaystyle x \ge 0$에서 두 함수 $\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle y=f(x)=(x-2)^{2}$은 서로 다른 두 점에서 만난다. 접하지 않으므로 그 두 점에서 기울기는 서로 다르다. 즉, 좌우 미분계수가 일치하지 않으므로 $\displaystyle y=h(x)$는 $\displaystyle 2$개의 교점에서 미분가능하지 않다.

(ii) $\displaystyle -4+2 \sqrt {3}<a<0$인 경우

함수 $\displaystyle y=g(x)$는 $\displaystyle x<0$에서 직선 $\displaystyle y=f(x)=3$과 한 점에서 만나며, $\displaystyle x \ge 0$에서 함수 $\displaystyle y=f(x)=(x-2)^{2}$과 서로 다른 두 점에서 만난다. 따라서 $\displaystyle y=h(x)$가 미분가능하지 않은 점은 $\displaystyle 3$개이다.

(iii) $\displaystyle a < - 4+2 \sqrt {3}$인 경우

함수 $\displaystyle y=g(x)$는 $\displaystyle x<0$에서 직선 $\displaystyle y=f(x)=3$과 한 점에서 만나며, $\displaystyle x \ge 0$에서 함수 $\displaystyle y=f(x)=(x-2)^{2}$과는 만나지 않는다. 따라서 $\displaystyle y=h(x)$가 미분가능하지 않은 점은 $\displaystyle 1$개이다.

(i), (ii), (iii)으로부터 함수 $\displaystyle y=h(x)$가 미분가능하지 않은 점이 $\displaystyle 3$개가 되게 하는 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle -4+2 \sqrt {3}<a<0$이다.