자연계열 1번

[1](1) $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$를 $\displaystyle \alpha=a+bi$, $\displaystyle \beta=c+di$ ($\displaystyle a,b,c,d$는 임의의 실수) 라 하면$\displaystyle \alpha\beta=(ac-bd)+(ad+bc)i$이므로$\displaystyle \overline{\alpha\beta}=(ac-bd)-(ad+bc)i \quad\cdots\cdots\ ①$그리고 $\displaystyle \overline{\alpha}=a-bi$와 $\displaystyle \overline{\beta}=c-di$의 곱은$\displaystyle \overline{\alpha}\,\overline{\beta}=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i \quad\cdots\cdots\ ②$따라서 ①, ②로부터 $\displaystyle \overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\,\overline{\beta}$가 성립한다.

[1](2) 주어진 방정식이 허근을 가지므로,$\displaystyle D=(a+1)^{2}-4(2a+1)=a^{2}-6a-3<0 \ \Rightarrow\ 3-2\sqrt{3}<a<3+2\sqrt{3} \quad\cdots\cdots\ ③$한편, 주어진 식은 다음과 같이 인수분해된다.$\displaystyle 0=\omega^{4}-\overline{\omega}^{4}=(\omega^{2}-\overline{\omega}^{2})(\omega^{2}+\overline{\omega}^{2})=(\omega-\overline{\omega})(\omega+\overline{\omega})(\omega^{2}+\overline{\omega}^{2})$( i ) $\displaystyle \omega-\overline{\omega}=0$일 때 $\displaystyle \omega$는 실수가 되어 모순이다. 따라서 $\displaystyle \omega-\overline{\omega}\ne0$이다.( ii ) $\displaystyle \omega+\overline{\omega}=0$일 때 $\displaystyle \omega+\overline{\omega}=a+1=0$에서 $\displaystyle a=-1$이다. 그런데 $\displaystyle -1<3-2\sqrt{3}$이므로 ③에 어긋난다. 따라서 $\displaystyle \omega+\overline{\omega}\ne0$이다.( iii ) $\displaystyle \omega^{2}+\overline{\omega}^{2}=0$일 때 $\displaystyle 0=(\omega+\overline{\omega})^{2}-2\omega\overline{\omega}=(a+1)^{2}-2(2a+1)=a^{2}-2a-1$이다.이로부터 $\displaystyle a=1\pm\sqrt{2}$이다.그런데 $\displaystyle 1-\sqrt{2}<3-2\sqrt{3}$이므로 ③에 어긋나고, 따라서 $\displaystyle \omega^{4}-\overline{\omega}^{4}=0$을 만족하는 $\displaystyle a=1+\sqrt{2}$이다.

[1](3) $\displaystyle \omega^{2}+\overline{\omega}^{2}-2\omega\overline{\omega}=(\omega+\overline{\omega})^{2}-4\omega\overline{\omega}=(a+1)^{2}-4(2a+1)=a^{2}-6a-3$이므로 주어진 부등식은 다음과 같다.$\displaystyle a^{2}-6a-3>-8 \ \Rightarrow\ a^{2}-6a+5=(a-1)(a-5)>0 \ \Rightarrow\ a<1 \ \text{또는}\ a>5$그러므로 ③에 의해 $\displaystyle a$의 범위는 다음과 같다.$\displaystyle 3-2\sqrt{3}<a<1,\qquad 5<a<3+2\sqrt{3}$

[2](1) 오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 사이의 거리가 작은 것부터 $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle a_{2}$, $\displaystyle a_{3}$로 나타내면 확률변수 $\displaystyle X_{3}$의 값은 다음과 같다.$\displaystyle (a_{1})^{2}=2\!\left(1-\cos\frac{\pi}{3}\right)=1,\qquad (a_{2})^{2}=2\!\left(1-\cos\frac{2\pi}{3}\right)=3,\qquad (a_{3})^{2}=2^{2}=4$

$\displaystyle 6$개의 점으로부터 $\displaystyle 2$개를 선택하는 방법의 가짓수는 $\displaystyle {}_{6}\mathrm{C}_{2}=15$이다.그리고 $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle a_{2}$가 나타나는 경우의 수가 각각 $\displaystyle 6$이고, $\displaystyle a_{3}$이 나타나는 경우의 수가 $\displaystyle 3$이므로$\displaystyle P(X_{3}=(a_{1})^{2})=P(X_{3}=(a_{2})^{2})=\frac{6}{15}=\frac{2}{5},\qquad P(X_{3}=(a_{3})^{2})=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$따라서 확률변수 $\displaystyle X_{3}$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

이로부터 확률변수 $\displaystyle X_{3}$의 기댓값은 다음과 같다.$\displaystyle E(X_{3})=1\cdot\frac{2}{5}+3\cdot\frac{2}{5}+4\cdot\frac{1}{5}=\frac{12}{5}$

[2](2) 오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 사이의 거리가 작은 것부터 $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle a_{2}$, $\displaystyle a_{3}$, $\displaystyle a_{4}$로 나타내자. 한 변이 이루는 중심각이 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$이므로 코사인법칙으로부터$\displaystyle \begin{aligned} (a_{1})^{2} &= 1+1-2\cos\frac{\pi}{4}=2\!\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2-\sqrt{2}, \\ (a_{2})^{2} &= 1+1-2\cos\frac{2\pi}{4}=2(1-0)=2, \\ (a_{3})^{2} &= 1+1-2\cos\frac{3\pi}{4}=2\!\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2+\sqrt{2}, \\ (a_{4})^{2} &= 1+1-2\cos\frac{4\pi}{4}=2(1+1)=4 \end{aligned}$

$\displaystyle 8$개의 점으로부터 $\displaystyle 2$개를 선택하는 방법의 가짓수는 $\displaystyle {}_{8}\mathrm{C}_{2}=28$이다. 그리고 $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle a_{2}$, $\displaystyle a_{3}$은 각각 $\displaystyle 8$번 얻을 수 있고, $\displaystyle a_{4}$는 $\displaystyle 4$번 얻을 수 있으므로 확률변수 $\displaystyle X_{4}$의 확률분포는 다음과 같다.

이로부터 $\displaystyle E(X_{4})$는 다음과 같다.$\displaystyle E(X_{4})=\left[(2-\sqrt{2})+2+(2+\sqrt{2})\right]\cdot\frac{2}{7}+4\cdot\frac{1}{7}=\frac{16}{7}$

[2](3) 오른쪽 그림과 같이 두 꼭짓점 사이의 거리가 작은 것부터 $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle a_{2}$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle a_{n}$으로 나타내자. 한 변이 이루는 중심각이 $\displaystyle \frac{\pi}{n}$이므로 코사인법칙으로부터 다음을 얻는다.$\displaystyle (a_{k})^{2}=1+1-2\cos\frac{k\pi}{n}=2\!\left(1-\cos\frac{k\pi}{n}\right)\qquad(k=1,2,\cdots,n)$

$\displaystyle 2n$개의 점으로부터 $\displaystyle 2$개를 선택하는 방법의 가짓수는 $\displaystyle {}_{2n}\mathrm{C}_{2}=n(2n-1)$이다. 그리고, $\displaystyle a_{1}$, $\displaystyle a_{2}$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle a_{n-1}$은 각각 $\displaystyle 2n$번 얻을 수 있고, $\displaystyle a_{n}$은 $\displaystyle n$번 얻을 수 있으므로 다음이 성립한다.$\displaystyle P(X_{n}=(a_{k})^{2})=\begin{cases} \dfrac{2}{2n-1} & (k\ne n) \\[6pt] \dfrac{1}{2n-1} & (k=n) \end{cases}$따라서 $\displaystyle E(X_{n})$은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned} E(X_{n}) &= \sum_{k=1}^{n-1}2\!\left(1-\cos\frac{k\pi}{n}\right)\cdot\frac{2}{2n-1}+2\!\left(1-\cos\frac{n\pi}{n}\right)\cdot\frac{1}{2n-1} \\ &= \frac{4}{2n-1}\sum_{k=1}^{n-1}\left(1-\cos\frac{k\pi}{n}\right)+\frac{4}{2n-1} \end{aligned}$

[2](4) (3)에서 구한 $\displaystyle E(X_{n})$은 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned} E(X_{n}) &= \frac{4}{2n-1}\sum_{k=1}^{n}\left(1-\cos\frac{k\pi}{n}\right)-\frac{4}{2n-1} \\ &= \frac{4n}{\pi(2n-1)}\sum_{k=1}^{n}\left(1-\cos\frac{k\pi}{n}\right)\cdot\frac{\pi}{n}-\frac{4}{2n-1} \end{aligned}$따라서 다음을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}E(X_{n}) &= \lim_{n\to\infty}\left\{\frac{4n}{\pi(2n-1)}\sum_{k=1}^{n}\left(1-\cos\frac{k\pi}{n}\right)\cdot\frac{\pi}{n}-\frac{4}{2n-1}\right\} \\ &= \left\{\lim_{n\to\infty}\frac{4n}{\pi(2n-1)}\right\}\left\{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(1-\cos\frac{k\pi}{n}\right)\cdot\frac{\pi}{n}\right\}-\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n-1} \\ &= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(1-\cos x)\,dx \\ &= \frac{2}{\pi}\Biggl[x-\sin x\Biggr]_{0}^{\pi}=2 \end{aligned}$