자연계열 1번

$\displaystyle X = 3^{x} + 3^{- x + 2}$라 하자. 제시문 (다)에 의해 $\displaystyle 3^{x} > 0$, $\displaystyle 3^{- x + 2} > 0$이므로 제시문 (가)에 의해$\displaystyle 3^{x} + 3^{- x + 2} \geq 2 \sqrt{3^{x} \times 3^{- x + 2}} = 6$이다.따라서 $\displaystyle X \geq 6$이다.

한편 $\displaystyle 9^{x} + 9^{- x + 2} = \left( 3^{x} + 3^{- x + 2} \right)^{2} - 18$이므로 $\displaystyle y$를 $\displaystyle X$에 대한 식으로 나타내면$\displaystyle y = X^{2} - 18 - 2 t X + 82 = X^{2} - 2 t X + 64 = \left( X - t \right)^{2} - t^{2} + 64$이다.

따라서 $\displaystyle f \left( t \right) = {\begin{cases}- t^{2} + 64 & \left( t \geq 6 \right) \\ 100 - 12 t & \left( t < 6 \right)\end{cases}}$ 이다.

[1-1]의 결과에 의해 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 부등식 $\displaystyle 9^{x} + 9^{- x + 2} - 2 t \left( 3^{x} + 3^{- x + 2} \right) + 82 > 0$가 항상 성립하기 위해서$\displaystyle X \geq 6$일 때, 부등식 $\displaystyle X^{2} - 2 t X + 64 > 0$가 항상 성립하면 된다.$\displaystyle g \left( X \right) = X^{2} - 2 t X + 64= \left( X - t \right)^{2} - t^{2} + 64$라 하자.제시문 (나)에 의해 $\displaystyle X \geq 6$일 때 함수 $\displaystyle g \left( X \right)$의 그래프가 $\displaystyle x$축보다 위쪽에 있으면 된다.

(i) $\displaystyle t \geq 6$인 경우함수 $\displaystyle g \left( X \right)$의 최솟값 $\displaystyle g \left( t \right) = - t^{2} + 64 > 0$이므로 $\displaystyle - 8 < t < 8$이다.그러므로 $\displaystyle 6 \leq t < 8$이다.

(ii) $\displaystyle t < 6$인 경우함수 $\displaystyle g \left( X \right)$의 최솟값 $\displaystyle g \left( 6 \right) = 100 - 12 t > 0$이므로 $\displaystyle t < \frac{{25}}{3}$이다.그러므로 $\displaystyle t < 6$이다.

(i), (ii)에 의해 주어진 부등식이 항상 성립하도록 하는 실수 $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle t < 8$이다.