수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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부산대 2021학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2021mo/jayeon_1

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문제

[문항 1] 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) a>0\displaystyle a > 0, b>0\displaystyle b > 0일 때, 다음 부등식이 성립한다.a+b2≥ab\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}

(나) 이차부등식의 해와 이차함수의 그래프 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.(1) ax2+bx+c>0\displaystyle a x^{2} + b x + c > 0의 해는 y=ax2+bx+c\displaystyle y = a x^{2} + b x + c에서 y>0\displaystyle y > 0인 x\displaystyle x의 값의 범위, 즉y=ax2+bx+c\displaystyle y = a x^{2} + b x + c의 그래프에서 x\displaystyle x축보다 위쪽에 있는 부분의 x\displaystyle x의 값의 범위이다.(2) ax2+bx+c<0\displaystyle a x^{2} + b x + c < 0의 해는 y=ax2+bx+c\displaystyle y = a x^{2} + b x + c에서 y<0\displaystyle y < 0인 x\displaystyle x의 값의 범위, 즉y=ax2+bx+c\displaystyle y = a x^{2} + b x + c의 그래프에서 x\displaystyle x축보다 아래쪽에 있는 부분의 x\displaystyle x의 값의 범위이다.

(다) 지수함수 y=ax\displaystyle y = a^{x}(a>0\displaystyle a > 0, a≠1\displaystyle a \ne 1)에 대하여 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 양의 실수 전체의 집합이다.

실수 t\displaystyle t에 대하여 함수 y=9x+9−x+2−2t(3x+3−x+2)+82\displaystyle y = 9^{x} + 9^{- x + 2} - 2 t \left( 3^{x} + 3^{- x + 2} \right) + 82의 최솟값을 f(t)\displaystyle f \left( t \right)라 하자. 다음 물음에 답하시오.

[1-1] 함수 f(t)\displaystyle f \left( t \right)를 구하시오. (15점)

[1-2] 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 부등식 9x+9−x+2−2t(3x+3−x+2)+82>0\displaystyle 9^{x} + 9^{- x + 2} - 2 t \left( 3^{x} + 3^{- x + 2} \right) + 82 > 0가 항상 성립하도록 하는 실수 t\displaystyle t의 범위를 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

부산대 2021학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2021mo/jayeon_1

[1-1]

+4점 · X=3x+3−x+2\displaystyle X = 3^{x} + 3^{- x + 2}라 두고 X\displaystyle X의 범위를 구한다.

X=3x+3−x+2\displaystyle X = 3^{x} + 3^{- x + 2}라 하자. 제시문 (다)에 의해 3x>0\displaystyle 3^{x} > 0, 3−x+2>0\displaystyle 3^{- x + 2} > 0이므로 제시문 (가)에 의해3x+3−x+2≥23x×3−x+2=6\displaystyle 3^{x} + 3^{- x + 2} \geq 2 \sqrt{3^{x} \times 3^{- x + 2}} = 6이다.따라서 X≥6\displaystyle X \geq 6이다.

+3점 · y\displaystyle y를 X\displaystyle X에 대한 식으로 나타낸다.

한편 9x+9−x+2=(3x+3−x+2)2−18\displaystyle 9^{x} + 9^{- x + 2} = \left( 3^{x} + 3^{- x + 2} \right)^{2} - 18이므로 y\displaystyle y를 X\displaystyle X에 대한 식으로 나타내면y=X2−18−2tX+82=X2−2tX+64=(X−t)2−t2+64\displaystyle y = X^{2} - 18 - 2 t X + 82 = X^{2} - 2 t X + 64 = \left( X - t \right)^{2} - t^{2} + 64이다.

+4점 · t≥6\displaystyle t \geq 6인 경우 f(t)\displaystyle f \left( t \right)를 구한다.
+4점 · t<6\displaystyle t < 6인 경우 f(t)\displaystyle f \left( t \right)를 구한다.

따라서 f(t)={−t2+64(t≥6)100−12t(t<6)\displaystyle f \left( t \right) = {\begin{cases}- t^{2} + 64 & \left( t \geq 6 \right) \\ 100 - 12 t & \left( t < 6 \right)\end{cases}} 이다.

[1-2]

+5점 · 주어진 부등식을 X\displaystyle X에 대한 이차부등식으로 나타내고 성립하기 위한 조건을 구한다.

[1-1]의 결과에 의해 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 부등식 9x+9−x+2−2t(3x+3−x+2)+82>0\displaystyle 9^{x} + 9^{- x + 2} - 2 t \left( 3^{x} + 3^{- x + 2} \right) + 82 > 0가 항상 성립하기 위해서X≥6\displaystyle X \geq 6일 때, 부등식 X2−2tX+64>0\displaystyle X^{2} - 2 t X + 64 > 0가 항상 성립하면 된다.g(X)=X2−2tX+64=(X−t)2−t2+64\displaystyle g \left( X \right) = X^{2} - 2 t X + 64= \left( X - t \right)^{2} - t^{2} + 64라 하자.제시문 (나)에 의해 X≥6\displaystyle X \geq 6일 때 함수 g(X)\displaystyle g \left( X \right)의 그래프가 x\displaystyle x축보다 위쪽에 있으면 된다.

+4점 · t≥6\displaystyle t \geq 6인 경우 실수 t\displaystyle t의 범위를 구한다.

(i) t≥6\displaystyle t \geq 6인 경우함수 g(X)\displaystyle g \left( X \right)의 최솟값 g(t)=−t2+64>0\displaystyle g \left( t \right) = - t^{2} + 64 > 0이므로 −8<t<8\displaystyle - 8 < t < 8이다.그러므로 6≤t<8\displaystyle 6 \leq t < 8이다.

+4점 · t<6\displaystyle t < 6인 경우 실수 t\displaystyle t의 범위를 구한다.

(ii) t<6\displaystyle t < 6인 경우함수 g(X)\displaystyle g \left( X \right)의 최솟값 g(6)=100−12t>0\displaystyle g \left( 6 \right) = 100 - 12 t > 0이므로 t<253\displaystyle t < \frac{{25}}{3}이다.그러므로 t<6\displaystyle t < 6이다.

+2점 · 실수 t\displaystyle t의 범위를 구한다.

(i), (ii)에 의해 주어진 부등식이 항상 성립하도록 하는 실수 t\displaystyle t의 범위는 t<8\displaystyle t < 8이다.

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