자연계열 2번

선분 $\displaystyle \mathrm{AP}$와 원 $\displaystyle C$의 접점을 $\displaystyle \mathrm{D}$라 하면 넓이 선분 $\displaystyle \mathrm{AP}$와 $\displaystyle x$축, 그리고 원 $\displaystyle C$로 둘러싸인 부분의 넓이 $\displaystyle S ( \theta )$는 사각형 $\displaystyle \mathrm{CBPD}$의 넓이에서 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{CBD}$의 넓이를 뺀 값과 같다.점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle f ( t )$이므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{CBPD}$의 넓이는 $\displaystyle f ( t ) - t$이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PBC}$에서 $\displaystyle \tan \theta = \frac{{1}}{f ( t ) - t}$이므로 $\displaystyle f ( t ) - t = \cot \theta \cdots$①라 둘 수 있다. 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{CBD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{{1}}{2} ( \pi - 2 \theta ) = \frac{{\pi}}{2} - \theta$이므로 $\displaystyle S ( \theta ) = \cot \theta - \frac{{\pi}}{2} + \theta$이다.

따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac{{\pi}}{12}}^{\frac{{\pi}}{6}} {S ( \theta ) d \theta} &= \int_{\frac{{\pi}}{12}}^{\frac{{\pi}}{6}} {\left( \cot \theta - \frac{{\pi}}{2} + \theta \right)} d \theta = \Biggl[ \ln ( \sin \theta ) - \frac{{\pi}}{2} \theta + \frac{{1}}{2} \theta^{2} \Biggr]_{\frac{{\pi}}{12}}^{\frac{{\pi}}{6}} \\ &= \left( \ln \left( \sin \frac{{\pi}}{6} \right) - \frac{{\pi^{2}}}{12} + \frac{{\pi^{2}}}{72} \right) - \left( \ln \left( \sin \frac{{\pi}}{12} \right) - \frac{{\pi^{2}}}{24} + \frac{{\pi^{2}}}{288} \right) = \ln \left( \frac{{\sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2} \right) - \frac{{1}}{32} \pi^{2}\end{aligned}$이다. ($\displaystyle \because \sin \frac{{\pi}}{12} = \sin \left( \frac{{\pi}}{3} - \frac{{\pi}}{4} \right) = \frac{{\sqrt{6} - \sqrt{2}}}{4}$)

삼각형 $\displaystyle \mathrm{CPB}$에서 $\displaystyle \tan \theta = \frac{{1}}{f ( t ) - t}$이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APO}$에서 $\displaystyle \tan 2 \theta = \frac{{3}}{f ( t )}$이다.제시문 (다)의 탄젠트 덧셈정리에 의해 $\displaystyle \frac{{3}}{f ( t )} = \tan 2 \theta = \frac{{2 \tan \theta}}{1 - \tan^{2} \theta} = \frac{{\frac{{2}}{f ( t ) - t}}}{1 - \frac{{1}}{\left( f ( t ) - t \right)^{2}}}$에서$\displaystyle f ( t )^{2} - 4 t f ( t ) + 3 t^{2} - 3 = 0 \cdots$②이다.

$\displaystyle t = 1$일 때 $\displaystyle f ( 1 ) = 4$이고 ②의 양변을 $\displaystyle t$에 대해 미분하면$\displaystyle 2 f ( t ) f^{\prime} ( t ) - 4 f ( t ) - 4 t f^{\prime} ( t ) + 6 t = 0$에서 $\displaystyle t = 1$를 대입하면 $\displaystyle f^{\prime} ( 1 ) = \frac{{5}}{2}$이다.

①에서 $\displaystyle t = 1$일 때, $\displaystyle \cot \theta = 3$이므로 $\displaystyle \csc^{2} \theta = 1 + \cot^{2} \theta = 10$이다.①의 양변을 $\displaystyle t$에 대해 미분하면 $\displaystyle f^{\prime} ( t ) - 1 = - \csc^{2} \theta \frac{{d \theta}}{d t}$에서 $\displaystyle t = 1$을 대입하면$\displaystyle f^{\prime} ( 1 ) - 1 = - 10 \frac{{d \theta}}{d t}$이므로 $\displaystyle \frac{{d \theta}}{d t} = - \frac{{3}}{20}$이다.

$\displaystyle S ( \theta ) = \cot \theta - \frac{{\pi}}{2} + \theta$의 양변을 $\displaystyle t$에 대해 미분하면 $\displaystyle \frac{{d S ( \theta )}}{d t} = - \csc^{2} \theta \frac{{d \theta}}{d t} + \frac{{d \theta}}{d t}$이므로$\displaystyle \therefore \frac{{d S ( \theta )}}{d t} = - 10 \times \left( - \frac{{3}}{20} \right) - \frac{{3}}{20} = \frac{{27}}{20}$