수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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부산대 2021학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2021mo/jayeon_2

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문제

[문항 2] 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 정적분의 정의구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f ( x )의 부정적분 중의 하나를 F(x)\displaystyle F ( x )라고 하면∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\displaystyle \int_a^bf(x)dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_a^b=F(b)-F(a)이다.

(나) 치환적분법∫f′(x)f(x)dx\displaystyle \int {\frac{{f^{\prime} ( x )}}{f ( x )} d x}에서 f(x)=t\displaystyle f ( x ) = t라 놓으면 f′(x)=dtdx\displaystyle f^{\prime} ( x ) = \frac{{d t}}{d x}이므로∫f′(x)f(x)dx=∫1tdt=ln⁡∣t∣+C=ln⁡∣f(x)∣+C\displaystyle \int {\frac{{f^{\prime} ( x )}}{f ( x )} d x} = \int {\frac{{1}}{t} d t} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| f ( x ) \right| + C이다. (단, C\displaystyle C는 적분상수)

(다) 삼각함수의 덧셈정리sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta, tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan ( \alpha + \beta ) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta}}{1 - \tan \alpha \tan \beta}이다.

(라) 합성함수의 미분법두 함수 y=f(u)\displaystyle y = f ( u ), u=g(x)\displaystyle u = g ( x )가 미분가능할 때, 합성함수 y=f((g(x))\displaystyle y = f ( ( g ( x ) )도 미분가능하며 그 도함수는 dydx=dydu×dudx\displaystyle \frac{{d y}}{d x} = \frac{{d y}}{d u} \times \frac{{d u}}{d x} 또는 y′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle y^{\prime} = f^{\prime} ( g ( x ) ) g^{\prime} ( x )이다.

(마) 음함수의 미분법x\displaystyle x의 함수 y\displaystyle y가 음함수 f(x,y)=0\displaystyle f ( x , y ) = 0의 꼴로 주어질 때에는 y\displaystyle y를 x\displaystyle x의 함수로 보고, 각 항을 x\displaystyle x에 대하여 미분하여 dydx\displaystyle \frac{{d y}}{d x}를 구한다.

그림과 같이 좌표평면에 원 C:(x−t)2+(y−1)2=1\displaystyle C : ( x - t )^{2} + ( y - 1 )^{2} = 1 와 점 A(0,3)\displaystyle \mathrm{A} ( 0 , 3 )와 점 A\displaystyle \mathrm{A}에서 원 C\displaystyle C에 그은 접선의 x\displaystyle x절편 P\displaystyle \mathrm{P}를 연결한 선분 AP\displaystyle \mathrm{AP}가 있다. 원 C\displaystyle C의 중심 C(t,1)\displaystyle \mathrm{C} ( t , 1 )이 (0,1)\displaystyle ( 0 , 1 )을 출발하여 원 C\displaystyle C가 x\displaystyle x축과 접하면서 x\displaystyle x축의 양의 방향과 평행한 방향으로 움직이고 있다. 점 P\displaystyle \mathrm{P}는 선분 AP\displaystyle \mathrm{AP}가 원 C\displaystyle C에 접하는 상태를 유지하며 x\displaystyle x축 위를 움직이고 있다. 점 P\displaystyle \mathrm{P}의 x\displaystyle x좌표를 f(t)\displaystyle f ( t ), ∠CPB=θ\displaystyle \angle \mathrm{CPB} = \theta라 할 때, 선분 AP\displaystyle \mathrm{AP}와 x\displaystyle x축, 그리고 원 C\displaystyle C로 둘러싸인 부분의 넓이를 S(θ)\displaystyle S ( \theta )라 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, P\displaystyle \mathrm{P}는 A\displaystyle \mathrm{A}에서 원 C\displaystyle C에 그은 접선의 x\displaystyle x절편 중 값이 큰 점이고 B\displaystyle \mathrm{B}는 원 C\displaystyle C와 x\displaystyle x축과 접점이다.)

원 C와 접선 AP 및 음영 영역 S(θ)

[2-1] ∫π12π6S(θ)dθ\displaystyle \int_{\frac{{\pi}}{12}}^{\frac{{\pi}}{6}} {S ( \theta ) d \theta}의 값을 구하시오. (10점)

[2-2] 원 C\displaystyle C의 중심의 x\displaystyle x좌표가 1일 때, dS(θ)dt\displaystyle \frac{{d S ( \theta )}}{d t}의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

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[2-1]

+3점 · 넓이 S(θ)\displaystyle S ( \theta )를 θ\displaystyle \theta에 대한 식으로 표현해 낼 수 있다.

선분 AP\displaystyle \mathrm{AP}와 원 C\displaystyle C의 접점을 D\displaystyle \mathrm{D}라 하면 넓이 선분 AP\displaystyle \mathrm{AP}와 x\displaystyle x축, 그리고 원 C\displaystyle C로 둘러싸인 부분의 넓이 S(θ)\displaystyle S ( \theta )는 사각형 CBPD\displaystyle \mathrm{CBPD}의 넓이에서 부채꼴 CBD\displaystyle \mathrm{CBD}의 넓이를 뺀 값과 같다.점 P\displaystyle \mathrm{P}의 x\displaystyle x좌표가 f(t)\displaystyle f ( t )이므로 사각형 CBPD\displaystyle \mathrm{CBPD}의 넓이는 f(t)−t\displaystyle f ( t ) - t이고 삼각형 PBC\displaystyle \mathrm{PBC}에서 tan⁡θ=1f(t)−t\displaystyle \tan \theta = \frac{{1}}{f ( t ) - t}이므로 f(t)−t=cot⁡θ⋯\displaystyle f ( t ) - t = \cot \theta \cdots①라 둘 수 있다. 부채꼴 CBD\displaystyle \mathrm{CBD}의 넓이는 12(π−2θ)=π2−θ\displaystyle \frac{{1}}{2} ( \pi - 2 \theta ) = \frac{{\pi}}{2} - \theta이므로 S(θ)=cot⁡θ−π2+θ\displaystyle S ( \theta ) = \cot \theta - \frac{{\pi}}{2} + \theta이다.

+5점 · ∫π12π6S(θ)dθ\displaystyle \int_{\frac{{\pi}}{12}}^{\frac{{\pi}}{6}} {S ( \theta ) d \theta}의 값을 정확히 구할 수 있다.

따라서 ∫π12π6S(θ)dθ=∫π12π6(cot⁡θ−π2+θ)dθ=[ln⁡(sin⁡θ)−π2θ+12θ2]π12π6=(ln⁡(sin⁡π6)−π212+π272)−(ln⁡(sin⁡π12)−π224+π2288)=ln⁡(6+22)−132π2\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac{{\pi}}{12}}^{\frac{{\pi}}{6}} {S ( \theta ) d \theta} &= \int_{\frac{{\pi}}{12}}^{\frac{{\pi}}{6}} {\left( \cot \theta - \frac{{\pi}}{2} + \theta \right)} d \theta = \Biggl[ \ln ( \sin \theta ) - \frac{{\pi}}{2} \theta + \frac{{1}}{2} \theta^{2} \Biggr]_{\frac{{\pi}}{12}}^{\frac{{\pi}}{6}} \\ &= \left( \ln \left( \sin \frac{{\pi}}{6} \right) - \frac{{\pi^{2}}}{12} + \frac{{\pi^{2}}}{72} \right) - \left( \ln \left( \sin \frac{{\pi}}{12} \right) - \frac{{\pi^{2}}}{24} + \frac{{\pi^{2}}}{288} \right) = \ln \left( \frac{{\sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2} \right) - \frac{{1}}{32} \pi^{2}\end{aligned}이다.

+2점 · 덧셈정리를 이용하여 sin⁡π12\displaystyle \sin \frac{{\pi}}{12}의 값을 구할 수 있다.

(∵sin⁡π12=sin⁡(π3−π4)=6−24\displaystyle \because \sin \frac{{\pi}}{12} = \sin \left( \frac{{\pi}}{3} - \frac{{\pi}}{4} \right) = \frac{{\sqrt{6} - \sqrt{2}}}{4})

[2-2]

+5점 · 탄젠트 덧셈정리를 이용하여 f(t)\displaystyle f ( t )에 대한 관계식을 구할 수 있다.

삼각형 CPB\displaystyle \mathrm{CPB}에서 tan⁡θ=1f(t)−t\displaystyle \tan \theta = \frac{{1}}{f ( t ) - t}이고 삼각형 APO\displaystyle \mathrm{APO}에서 tan⁡2θ=3f(t)\displaystyle \tan 2 \theta = \frac{{3}}{f ( t )}이다.제시문 (다)의 탄젠트 덧셈정리에 의해 3f(t)=tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ=2f(t)−t1−1(f(t)−t)2\displaystyle \frac{{3}}{f ( t )} = \tan 2 \theta = \frac{{2 \tan \theta}}{1 - \tan^{2} \theta} = \frac{{\frac{{2}}{f ( t ) - t}}}{1 - \frac{{1}}{\left( f ( t ) - t \right)^{2}}}에서f(t)2−4tf(t)+3t2−3=0⋯\displaystyle f ( t )^{2} - 4 t f ( t ) + 3 t^{2} - 3 = 0 \cdots②이다.

+5점 · 합성함수의 미분법을 이용하여 t=1\displaystyle t = 1일 때 f′(t)\displaystyle f^{\prime} ( t )의 값을 구할 수 있다.

t=1\displaystyle t = 1일 때 f(1)=4\displaystyle f ( 1 ) = 4이고 ②의 양변을 t\displaystyle t에 대해 미분하면2f(t)f′(t)−4f(t)−4tf′(t)+6t=0\displaystyle 2 f ( t ) f^{\prime} ( t ) - 4 f ( t ) - 4 t f^{\prime} ( t ) + 6 t = 0에서 t=1\displaystyle t = 1를 대입하면 f′(1)=52\displaystyle f^{\prime} ( 1 ) = \frac{{5}}{2}이다.

+5점 · 음함수의 미분법과 t=1\displaystyle t = 1일 때 f′(t)\displaystyle f^{\prime} ( t )의 값을 이용하여 dθdt\displaystyle \frac{{d \theta}}{d t}의 값을 구할 수 있다.

①에서 t=1\displaystyle t = 1일 때, cot⁡θ=3\displaystyle \cot \theta = 3이므로 csc⁡2θ=1+cot⁡2θ=10\displaystyle \csc^{2} \theta = 1 + \cot^{2} \theta = 10이다.①의 양변을 t\displaystyle t에 대해 미분하면 f′(t)−1=−csc⁡2θdθdt\displaystyle f^{\prime} ( t ) - 1 = - \csc^{2} \theta \frac{{d \theta}}{d t}에서 t=1\displaystyle t = 1을 대입하면f′(1)−1=−10dθdt\displaystyle f^{\prime} ( 1 ) - 1 = - 10 \frac{{d \theta}}{d t}이므로 dθdt=−320\displaystyle \frac{{d \theta}}{d t} = - \frac{{3}}{20}이다.

+5점 · t=1\displaystyle t = 1일 때 dθdt\displaystyle \frac{{d \theta}}{d t}의 값을 이용하여 dS(θ)dt\displaystyle \frac{{d S ( \theta )}}{d t}의 값을 구할 수 있다.

S(θ)=cot⁡θ−π2+θ\displaystyle S ( \theta ) = \cot \theta - \frac{{\pi}}{2} + \theta의 양변을 t\displaystyle t에 대해 미분하면 dS(θ)dt=−csc⁡2θdθdt+dθdt\displaystyle \frac{{d S ( \theta )}}{d t} = - \csc^{2} \theta \frac{{d \theta}}{d t} + \frac{{d \theta}}{d t}이므로∴dS(θ)dt=−10×(−320)−320=2720\displaystyle \therefore \frac{{d S ( \theta )}}{d t} = - 10 \times \left( - \frac{{3}}{20} \right) - \frac{{3}}{20} = \frac{{27}}{20}

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