자연계열 3번

(ⅰ) $\displaystyle X = 0$은 앞면과 뒷면이 변화하는 횟수가 $\displaystyle 0$이므로 모두 $\displaystyle \mathrm{H}$ 또는 $\displaystyle \mathrm{T}$이다.$\displaystyle \mathrm{P} ( X = 0 ) = 2 \times \left( \frac{{1}}{2} \right)^{25} = \frac{{1}}{2^{24}}$

(ⅱ) $\displaystyle X = 1$은 동전을 $\displaystyle 25$번 던져서 나오는 앞면과 뒷면을 차례로 적었을 때, 앞면과 뒷면이 변화하는 횟수가 총 1번이다. 동전과 동전 사이에 칸막이를 설치할 수 있을 때 앞면과 뒷면의 변화가 있으면 칸막이를 설치한다. 아래의 그림과 같이 동전과 동전 사이에 있는 $\displaystyle 24$개의 칸 중에서 $\displaystyle k$($\displaystyle 1 \leq k \leq 24$)번째에 칸막이를 설치하면 칸막이를 기준으로 앞면과 뒷면의 변화가 $\displaystyle 1$번 발생한다.

$\displaystyle \mathrm{P} ( X = 1 )$은 $\displaystyle 24$개의 칸 중에서 $\displaystyle k$($\displaystyle 1 \leq k \leq 24$)번째에 칸막이를 설치할 확률과 같으므로$\displaystyle \mathrm{P}(X=1)={}_{24}\mathrm{C}_{1}\times\left(\frac12\right)^k\left(\frac12\right)^{25-k}\times2=\frac{24}{2^{24}}$

따라서, (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 값은 $\displaystyle \mathrm{P} ( X \geq 2 ) = 1 - \frac{{1}}{2^{24}} - \frac{{24}}{2^{24}} = 1 - \frac{{25}}{2^{24}}$이다.

$\displaystyle \mathrm{P} ( X = m )$의 값은 동전과 동전 사이에 있는 $\displaystyle 24$개의 칸 중에서 $\displaystyle m$개의 칸막이를 설치하고 앞면과 뒷면이 나오는 확률을 구하는 것과 같다.$\displaystyle \mathrm{P}(X=m)={}_{24}\mathrm{C}_{m}\left(\frac12\right)^k\left(\frac12\right)^{25-k}\times2=\frac{{}_{24}\mathrm{C}_{m}}{2^{24}}$이다.

한편, $\displaystyle \mathrm{P} ( X = m )$의 값이 최대가 되려면 다음 식을 만족해야 한다.$\displaystyle \mathrm{P} ( X = m - 1 ) \leq \mathrm{P} ( X = m )$, $\displaystyle \mathrm{P} ( X = m ) \geq \mathrm{P} ( X = m + 1 )$

$\displaystyle \frac{{}_{24}\mathrm{C}_{m-1}}{2^{24}}\le\frac{{}_{24}\mathrm{C}_{m}}{2^{24}},\quad\frac{{}_{24}\mathrm{C}_{m}}{2^{24}}\ge\frac{{}_{24}\mathrm{C}_{m+1}}{2^{24}}$$\displaystyle \frac{{24 !}}{( m - 1 ) ! \times ( 25 - m ) !} \leq \frac{{24 !}}{m ! \times ( 24 - m ) !}$, $\displaystyle \frac{{24 !}}{m ! \times ( 24 - m ) !} \geq \frac{{24 !}}{( m + 1 ) ! \times ( 23 - m ) !}$$\displaystyle m \leq 25 - m$, $\displaystyle m + 1 \geq 24 - m$$\displaystyle \frac{{23}}{2} \leq m \leq \frac{{25}}{2}$이므로 만족하는 $\displaystyle m$의 값은 $\displaystyle 12$이다.

한편,$\displaystyle \begin{aligned}\frac1{k+1}\times\frac{{}_{24}\mathrm{C}_{k}}{2^{24}}&=\frac1{k+1}\times\frac{24!}{k!\times(24-k)!}\times\frac1{2^{24}}\\&=\frac{25!}{(k+1)!\times\{25-(k+1)\}!}\times\frac1{25\times2^{24}}={}_{25}\mathrm{C}_{k+1}\times\frac1{25\times2^{24}}\end{aligned}$이므로 주어진 식의 값은$\displaystyle \sum_{k=0}^{11}\frac1{k+1}\times\frac{{}_{24}\mathrm{C}_{k}}{2^{24}}=\sum_{k=0}^{11}{}_{25}\mathrm{C}_{k+1}\times\frac1{25\times2^{24}}=\frac1{25\times2^{24}}\left({}_{25}\mathrm{C}_{1}+{}_{25}\mathrm{C}_{2}+\cdots+{}_{25}\mathrm{C}_{12}\right)$이다.

제시문 (다)를 통해 $\displaystyle 2^{25} =_{25} \mathrm{C} _ {0} +_{25} \mathrm{C} _ {1} +_{25} \mathrm{C} _ {2} + \cdots +_{25} \mathrm{C} _ {25}$이고, $\displaystyle _ {25} {\mathrm{C}} _ {k} =_{25} {\mathrm{C}} _ {25 - k}$를 이용하면$\displaystyle {}_{25}\mathrm{C}_{0}+{}_{25}\mathrm{C}_{1}+\cdots+{}_{25}\mathrm{C}_{12}={}_{25}\mathrm{C}_{13}+{}_{25}\mathrm{C}_{14}+\cdots+{}_{25}\mathrm{C}_{25}=2^{25-1}=2^{24}$

이므로$\displaystyle \sum_{k = 0}^{m - 1} \frac{{1}}{k + 1} \times \mathrm{P} ( X = k )= \frac{{1}}{25 \times 2^{24}} \times \left( 2^{24} - 1 \right) = \frac{{1}}{50} \left( 2 - \frac{{1}}{2^{23}} \right)$이다.따라서 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle 2 - \frac{{1}}{2^{23}}$이다.