자연계열 1번

함수 $\displaystyle y = \left| 5 x^{2} - 20 x \right| = \left| 5 ( x - 2 )^{2} - 20 \right|$이므로 함수의 그래프는 그림과 같다. 따라서 제시문 (가)에 의해 함수 $\displaystyle y = \left| 5 x^{2} - 20 x \right|$는 $\displaystyle x = 1$에서 최댓값 $\displaystyle 15$를 갖는다.

(i) $\displaystyle \frac{{t}}{5} \geq 1$, 즉 $\displaystyle t \geq 5$일 때 $\displaystyle g ( t ) = f ( 1 ) = | 5 - 2 t | = 2 t - 5$이다.

(ii) $\displaystyle \frac{{t}}{5} < 1 \leq \alpha$일 때, 여기서 $\displaystyle 5 x^{2} - 2 t x = \frac{{t^{2}}}{5}$가 성립하는 $\displaystyle x$를 $\displaystyle \alpha$라 두면 $\displaystyle 5 \alpha^{2} - 2 t \alpha = \frac{{t^{2}}}{5}$이다.$\displaystyle 25 \alpha^{2} - 10 t \alpha - t^{2} = 0$이고 근을 구하면$\displaystyle \alpha = \frac{{5 t ± 5 \sqrt{2} t}}{25} = \frac{{1 ± \sqrt{2}}}{5} t$이다.$\displaystyle \alpha>\frac t5$이므로 $\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt2}{5}t$이다.

그러므로 $\displaystyle \frac{{t}}{5} < 1 \leq \frac{{1 + \sqrt{2}}}{5} t$, 즉 $\displaystyle 5 ( \sqrt{2} - 1 ) \leq t < 5$일 때$\displaystyle g ( t ) = f \left( \frac{{t}}{5} \right) = \left| - \frac{{t^{2}}}{5} \right| = \frac{{t^{2}}}{5}$이다.

(iii) $\displaystyle 0 < \frac{{1 + \sqrt{2}}}{5} t < 1$, 즉 $\displaystyle 0 < t < 5 ( \sqrt{2} - 1 )$일 때$\displaystyle g ( t ) = f ( 1 ) = | 5 - 2 t | = 5 - 2 t$이다.

직선 $\displaystyle y = a$와 함수 $\displaystyle y = g ( t )$의 그래프가 만나는 점의 개수는 (ㄱ)이면 $\displaystyle 0$, (ㄴ)이면 $\displaystyle 1$, (ㄷ)이면 $\displaystyle 2$, (ㄹ)이면 $\displaystyle 1$이다. 함수 $\displaystyle h ( a )$는$\displaystyle h(a)=\begin{cases}0&(a<15-10\sqrt2)\\1&(a=15-10\sqrt2)\\2&(15-10\sqrt2<a<5)\\1&(a\ge5)\end{cases}$이고 함수 $\displaystyle y = h ( a )$의 그래프는 그림과 같다.

그러므로 함수 $\displaystyle h ( a )$가 $\displaystyle a = k$에서 불연속이 되는 $\displaystyle k$의 값을 구하면 $\displaystyle k = 15 - 10 \sqrt{2}$또는 $\displaystyle k = 5$이다. 따라서 모든 $\displaystyle k$의 값의 합은 $\displaystyle 20 - 10 \sqrt{2}$이다.