수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

부산대 2021학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2021su/jayeon_1

배점35점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

[문항 1] 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속이면 f(x)\displaystyle f ( x )는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

(나) 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 실수 a\displaystyle a에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때, f(x)\displaystyle f ( x )는 x=a\displaystyle x = a에서 연속이라고 한다.

(i) 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 x=a\displaystyle x = a에서 정의되어 있다.(ii) 극한값 lim⁡x→af(x)\displaystyle \lim_{x \to a} f ( x )가 존재한다.(iii) lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x \to a} f ( x ) = f ( a )

한편, 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 x=a\displaystyle x = a에서 연속이 아닐 때, f(x)\displaystyle f ( x )는 x=a\displaystyle x = a에서 불연속이라고 한다.

양수 t\displaystyle t에 대하여 닫힌구간 [0,1]\displaystyle [ 0 , 1 ]에서 정의된 함수 f(x)=∣5x2−2tx∣\displaystyle f ( x ) = \left| 5 x^{2} - 2 t x \right|의 최댓값을 g(t)\displaystyle g ( t )라 하자.

[1-1] 닫힌구간 [0,1]\displaystyle [ 0 , 1 ]에서 함수 y=∣5x2−20x∣\displaystyle y = \left| 5 x^{2} - 20 x \right|의 최댓값을 구하시오. (10점)

[1-2] 함수 g(t)\displaystyle g ( t )를 구하시오. (15점)

[1-3] 실수 a\displaystyle a에 대하여 직선 y=a\displaystyle y = a와 함수 y=g(t)\displaystyle y = g ( t )의 그래프가 만나는 점의 개수를 h(a)\displaystyle h ( a )라 하자. 함수 h(a)\displaystyle h ( a )가 a=k\displaystyle a = k에서 불연속인 모든 k\displaystyle k의 값의 합을 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

부산대 2021학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2021su/jayeon_1

[1-1]

+4점 · 함수 y=∣5x2−20x∣=∣5(x−2)2−20∣\displaystyle y = \left| 5 x^{2} - 20 x \right| = \left| 5 ( x - 2 )^{2} - 20 \right|으로 나타낼 수 있다.

함수 y=∣5x2−20x∣=∣5(x−2)2−20∣\displaystyle y = \left| 5 x^{2} - 20 x \right| = \left| 5 ( x - 2 )^{2} - 20 \right|이므로 함수의 그래프는 그림과 같다.

+6점 · 최댓값을 구할 수 있다.

따라서 제시문 (가)에 의해 함수 y=∣5x2−20x∣\displaystyle y = \left| 5 x^{2} - 20 x \right|는 x=1\displaystyle x = 1에서 최댓값 15\displaystyle 15를 갖는다.

y=|5x²−20x|의 그래프와 구간 [0,1]

[1-2]

f(x)=∣5x2−2tx∣=∣5(x−t5)2−t25∣\displaystyle f ( x ) = \left| 5 x^{2} - 2 t x \right| = \left| 5 \left( x - \frac{{t}}{5} \right)^{2} - \frac{{t^{2}}}{5} \right|이다.t5≥1,t5<1≤α,α<1\displaystyle \frac{{t}}{5} \geq 1 , \frac{{t}}{5} < 1 \leq \alpha , \alpha < 1의 범위에 따라 다음과 같이 세 가지로 나뉜다.

t/5≥1의 경우
t/5<1≤α의 경우
α<1의 경우
+4점 · t≥5\displaystyle t \ge 5일 때 함수 g(t)\displaystyle g ( t )를 구할 수 있다.

(i) t5≥1\displaystyle \frac{{t}}{5} \geq 1, 즉 t≥5\displaystyle t \geq 5일 때 g(t)=f(1)=∣5−2t∣=2t−5\displaystyle g ( t ) = f ( 1 ) = | 5 - 2 t | = 2 t - 5이다.

+3점 · g(α)=t25\displaystyle g ( \alpha ) = \frac{{t^{2}}}{5}되는 α\displaystyle \alpha를 구할 수 있다.

(ii) t5<1≤α\displaystyle \frac{{t}}{5} < 1 \leq \alpha일 때, 여기서 5x2−2tx=t25\displaystyle 5 x^{2} - 2 t x = \frac{{t^{2}}}{5}가 성립하는 x\displaystyle x를 α\displaystyle \alpha라 두면 5α2−2tα=t25\displaystyle 5 \alpha^{2} - 2 t \alpha = \frac{{t^{2}}}{5}이다.25α2−10tα−t2=0\displaystyle 25 \alpha^{2} - 10 t \alpha - t^{2} = 0이고 근을 구하면α=5t±52t25=1±25t\displaystyle \alpha = \frac{{5 t ± 5 \sqrt{2} t}}{25} = \frac{{1 ± \sqrt{2}}}{5} t이다.α>t5\displaystyle \alpha>\frac t5이므로 α=1+25t\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt2}{5}t이다.

+4점 · 5(2−1)≤t<5\displaystyle 5 ( \sqrt{2} - 1 ) \le t < 5일 때, 함수 g(t)\displaystyle g ( t )를 구할 수 있다.

그러므로 t5<1≤1+25t\displaystyle \frac{{t}}{5} < 1 \leq \frac{{1 + \sqrt{2}}}{5} t, 즉 5(2−1)≤t<5\displaystyle 5 ( \sqrt{2} - 1 ) \leq t < 5일 때g(t)=f(t5)=∣−t25∣=t25\displaystyle g ( t ) = f \left( \frac{{t}}{5} \right) = \left| - \frac{{t^{2}}}{5} \right| = \frac{{t^{2}}}{5}이다.

+4점 · 0<t<5(2−1)\displaystyle 0 < t < 5 ( \sqrt{2} - 1 )일 때, 함수 g(t)\displaystyle g ( t )를 구할 수 있다.

(iii) 0<1+25t<1\displaystyle 0 < \frac{{1 + \sqrt{2}}}{5} t < 1, 즉 0<t<5(2−1)\displaystyle 0 < t < 5 ( \sqrt{2} - 1 )일 때g(t)=f(1)=∣5−2t∣=5−2t\displaystyle g ( t ) = f ( 1 ) = | 5 - 2 t | = 5 - 2 t이다.

따라서 (i), (ii), (iii)에 의해 함수 g(t)\displaystyle g ( t )는g(t)={5−2t(0<t<5(2−1))t25(5(2−1)≤t<5)2t−5(t≥5)\displaystyle g(t)=\begin{cases}5-2t&(0<t<5(\sqrt2-1))\\\frac{t^2}{5}&(5(\sqrt2-1)\le t<5)\\2t-5&(t\ge5)\end{cases}이고 함수 y=g(t)\displaystyle y = g ( t )의 그래프는 그림과 같다.

양수 t에 대한 최댓값 함수 g(t)의 그래프

[1-3]

t>0\displaystyle t > 0에서 직선 y=a\displaystyle y = a와 함수 y=g(t)\displaystyle y = g ( t )의 그래프는 그림과 같다.

직선 y=a와 y=g(t)의 교점 개수를 구분한 그래프
+2점 · a<15−102\displaystyle a < 15 - 10 \sqrt{2}일 때, 함수 h(a)\displaystyle h ( a )를 구할 수 있다.
+2점 · a=15−102\displaystyle a = 15 - 10 \sqrt{2}일 때, 함수 h(a)\displaystyle h ( a )를 구할 수 있다.
+2점 · 15−102<a<5\displaystyle 15 - 10 \sqrt{2} < a < 5일 때, 함수 h(a)\displaystyle h ( a )를 구할 수 있다.
+2점 · a≥5\displaystyle a \ge 5일 때, 함수 h(a)\displaystyle h ( a )를 구할 수 있다.

직선 y=a\displaystyle y = a와 함수 y=g(t)\displaystyle y = g ( t )의 그래프가 만나는 점의 개수는 (ㄱ)이면 0\displaystyle 0, (ㄴ)이면 1\displaystyle 1, (ㄷ)이면 2\displaystyle 2, (ㄹ)이면 1\displaystyle 1이다. 함수 h(a)\displaystyle h ( a )는h(a)={0(a<15−102)1(a=15−102)2(15−102<a<5)1(a≥5)\displaystyle h(a)=\begin{cases}0&(a<15-10\sqrt2)\\1&(a=15-10\sqrt2)\\2&(15-10\sqrt2<a<5)\\1&(a\ge5)\end{cases}이고 함수 y=h(a)\displaystyle y = h ( a )의 그래프는 그림과 같다.

교점 개수 함수 h(a)의 그래프
+2점 · 함수 h(a)\displaystyle h ( a )가 a=k\displaystyle a = k에서 불연속인 모든 k\displaystyle k의 값의 합을 구할 수 있다.

그러므로 함수 h(a)\displaystyle h ( a )가 a=k\displaystyle a = k에서 불연속이 되는 k\displaystyle k의 값을 구하면 k=15−102\displaystyle k = 15 - 10 \sqrt{2}또는 k=5\displaystyle k = 5이다. 따라서 모든 k\displaystyle k의 값의 합은 20−102\displaystyle 20 - 10 \sqrt{2}이다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.