부산대 2021학년도 수시 자연계열 3번 해설

[문항 3] 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 서로 다른 $\displaystyle n$ 개에서 $\displaystyle r$ 개를 택하는 조합의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ (단, $\displaystyle 0\le r\le n$ )

(나) 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때의 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부확률은 $\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}$ (단, $\displaystyle \mathrm P(A)\ne0$ )

(다) 일반적으로 각각의 시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률이 $\displaystyle p$ 로 일정할 때, $\displaystyle n$ 회의 독립시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어나는 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라고 하자. 이때, 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률질량함수 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( X = x )$ 는 $\displaystyle \mathrm P(X=x)={}_{n}\mathrm C_xp^xq^{n-x}$ (단, $\displaystyle q=1-p,\;x=0,\;1,\;2,\;\cdots,\;n$ )이다. 이와 같은 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포를 이항분포라 하고, 기호로 $\displaystyle {\mathrm{B}} ( n , p )$ 와 같이 나타낸다.

감염자 $\displaystyle {\mathrm{Z}}$ 가 비감염자와 접촉할 때, 비감염자 중 마스크 착용자와 미착용자는 각각 $\displaystyle \frac{{1}}{10} , \frac{{1}}{2}$ 의 확률로 바이러스에 감염된다고 하자. 장소 $\displaystyle {\mathrm{A}}$ 에 $\displaystyle 3$ 명, 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$ 에 $\displaystyle 2$ 명, 장소 $\displaystyle {\mathrm{C}}$ 에 $\displaystyle 1$ 명이 있고 이들은 모두 비감염자이다. 그리고 장소 $\displaystyle {\mathrm{A}}$ 에 있는 $\displaystyle 3$ 명은 모두 마스크 미착용자이다. $\displaystyle {\mathrm{Z}}$ 는 장소 $\displaystyle {\mathrm{A}} , {\mathrm{B}} , {\mathrm{C}}$ 를 이 순서대로 한 번씩 방문하여 $\displaystyle 6$ 명 모두와 접촉한다. 바이러스 감염은 $\displaystyle Z$ 와의 접촉을 통해서만 발생할 수 있고, 비감염자 $\displaystyle 6$ 명이 각각 바이러스에 감염되는 사건은 서로 독립이라 하자. (단, 한 장소에서의 접촉시간, 접촉횟수, 접촉순서는 고려하지 않는다.)

[3-1] 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$ 와 $\displaystyle \mathrm C$ 에 있는 비감염자가 마스크를 착용할 확률은 $\displaystyle \frac{{1}}{2}$ 이라 하자. 장소 $\displaystyle {\mathrm{A}} , {\mathrm{B}} , {\mathrm{C}}$ 중 $\displaystyle 2$ 개의 장소에서만 각각 $\displaystyle 1$ 명씩 감염자가 발생할 확률이 $\displaystyle \frac{{3^{2} \times 7}}{2^{6} \times 5^{3}} \times \alpha$ 일 때, $\displaystyle \alpha$ 의 값을 구하시오. (15점)

[3-2] 다음 조건을 만족시킬 때, 장소 $\displaystyle {\mathrm{A}} , {\mathrm{B}} , {\mathrm{C}}$ 중 $\displaystyle 2$ 개의 장소에서만 각각 $\displaystyle 1$ 명씩 감염자가 발생하는 경우의 수를 구하시오. (20점)

(i) 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$ 에서 $\displaystyle {\mathrm{Z}}$ 가 접촉한 $\displaystyle 2$ 명 중 적어도 $\displaystyle 1$ 명은 마스크 착용자이다.

(ii) 마스크 착용자 중에서 $\displaystyle 1$ 명 이하의 감염자가 발생한다.

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[3-1]

+3점 · 장소 B, C에서 비감염자가 바이러스에 감염될 확률을 조건부확률과 확률의 곱셈정리를 이용해서 구할 수 있다.

장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$ 와 장소 $\displaystyle {\mathrm{C}}$ 의 비감염자가 바이러스에 감염되는 사건을 $\displaystyle D$ , 비감염자가 마스크를 착용하는 사건을 $\displaystyle M$ 이라 하자. $\displaystyle \begin{gathered}{\mathrm{P}} ( M ) = \frac{{1}}{2} , {\mathrm{P}} ( D | M ) = \frac{{1}}{10} , {\mathrm{P}} \left( D | M^{C} \right) = \frac{{1}}{2}\end{gathered}$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(D)&=\mathrm P(D\cap M)+\mathrm P(D\cap M^C)\\&=\mathrm P(D|M)\times\mathrm P(M)+\mathrm P(D|M^C)\times\mathrm P(M^C)\\&=\frac1{10}\times\frac12+\frac12\times\frac12=\frac1{20}+\frac14=\frac3{10}\end{aligned}$ 이다.

장소 $\displaystyle {\mathrm{A}}$ 에서 비감염자가 바이러스에 감염되는 인원수를 확률변수 $\displaystyle X_{A}$ , 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$ 에서 비감염자가 바이러스에 감염되는 인원수를 확률변수 $\displaystyle X_{B}$ 라 하면 확률변수 $\displaystyle X_{A} , X_{B}$ 는 각각 이항분포 $\displaystyle {\mathrm{B}} \left( 3 , \frac{{1}}{2} \right) , {\mathrm{B}} \left( 2 , \frac{{3}}{10} \right)$ 를 따른다. 장소 $\displaystyle {\mathrm{C}}$ 에서 비감염자가 바이러스에 감염되는 인원수를 확률변수 $\displaystyle X_{C}$ 라 하자.

+3점 · 장소 A, B, C에서 발생하는 감염자 수의 경우를 구별할 수 있다.

+9점 · 이항분포를 이용하여 각각의 경우마다 감염자가 발생할 확률을 구할 수 있다.

(i) $\displaystyle X_{A} = 1 , X_{B} = 1 , X_{C} = 0$ 인 경우 $\displaystyle p_{1} = {}_{3} {\mathrm{C}} _ {1} \left( \frac{{1}}{2} \right)^{3} \times {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} \left( \frac{{3}}{10} \right) \left( \frac{{7}}{10} \right) \times \frac{{7}}{10} = \frac{{3}}{2^{3}} \times \frac{{2 \times 3 \times 7}}{10^{2}} \times \frac{{7}}{10} = \frac{{2 \times 3^{2} \times 7^{2}}}{2^{6} \times 5^{3}}$

(ii) $\displaystyle X_{A} = 1 , X_{B} = 0 , X_{C} = 1$ 인 경우 $\displaystyle p_{2} = {}_{3} {\mathrm{C}} _ {1} \left( \frac{{1}}{2} \right)^{3} \times {}_{2} {\mathrm{C}} _ {0} \left( \frac{{7}}{10} \right)^{2} \times \frac{{3}}{10} = \frac{{3}}{2^{3}} \times \frac{{7^{2}}}{10^{2}} \times \frac{{3}}{10} = \frac{{3^{2} \times 7^{2}}}{2^{6} \times 5^{3}}$

(iii) $\displaystyle X_{A} = 0 , X_{B} = 1 , X_{C} = 1$ 인 경우 $\displaystyle p_{3} = {}_{3} {\mathrm{C}} _ {0} \left( \frac{{1}}{2} \right)^{3} \times {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} \left( \frac{{3}}{10} \right) \left( \frac{{7}}{10} \right) \times \frac{{3}}{10} = \frac{{1}}{2^{3}} \times \frac{{2 \times 3 \times 7}}{10^{2}} \times \frac{{3}}{10} = \frac{{2 \times 3^{2} \times 7}}{2^{6} \times 5^{3}}$

그러므로 구하는 확률은 $\displaystyle p = p_{1} + p_{2} + p_{3} = \frac{{2 \times 3^{2} \times 7^{2}}}{2^{6} \times 5^{3}} + \frac{{3^{2} \times 7^{2}}}{2^{6} \times 5^{3}} + \frac{{2 \times 3^{2} \times 7}}{2^{6} \times 5^{3}} = \frac{{3^{2} \times 7}}{2^{6} \times 5^{3}} \times ( 14 + 7 + 2 ) = \frac{{3^{2} \times 7}}{2^{6} \times 5^{3}} \times 23$ 이다.따라서 $\displaystyle \alpha = 23$ 이다.

[3-2]

+6점 · 장소 A, B, C에서 발생하는 감염자 수의 경우를 구별하고 조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다.

+10점 · 감염자 발생 장소 따라 마스크 착용자의 수를 구별하여 경우의 수를 구할 수 있다.

+4점 · 비감염자가 마스크 착용자인 경우와 미착용자인 경우를 구별하여 경우의 수를 구할 수 있다.

(i) 감염자가 장소 $\displaystyle {\mathrm{A}}$ 에서 $\displaystyle 1$ 명, 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$ 에서 $\displaystyle 1$ 명이 발생하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {1} \times {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} \times {}_{1} {\mathrm{C}} _ {0} = 6$ 이고

① 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 1$ 명일 때의 경우의 수 : 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$ 에만 있으므로 $\displaystyle {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} = 2$ ② 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 2$ 명일 때의 경우의 수 : $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {2} = 3$ ③ 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 3$ 명일 때의 경우의 수 : $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {3} = 1$ 따라서 $\displaystyle 6 \times ( 2 + 3 + 1 ) = 6 \times 6 = 36$

(ii) 감염자가 장소 $\displaystyle {\mathrm{A}}$ 에서 $\displaystyle 1$ 명, 장소 $\displaystyle {\mathrm{C}}$ 에서 $\displaystyle 1$ 명이 발생하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {1} \times {}_{2} {\mathrm{C}} _ {0} \times {}_{1} {\mathrm{C}} _ {1} = 3$ 이고

① 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 1$ 명일 때의 경우의 수 : 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$ 에만 있으므로 $\displaystyle {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} = 2$ ② 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 2$ 명일 때의 경우의 수 : $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {2} = 3$ ③ 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 3$ 명일 때의 경우의 수 : $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {3} = 1$ 따라서 $\displaystyle 3 \times ( 2 + 3 + 1 ) = 3 \times 6 = 18$

(iii) 감염자가 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$ 에서 $\displaystyle 1$ 명, 장소 $\displaystyle {\mathrm{C}}$ 에서 $\displaystyle 1$ 명이 발생하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {0} \times {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} \times {}_{1} {\mathrm{C}} _ {1} = 2$ 이고

① 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 1$ 명일 때의 경우의 수 : 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$ 에만 있으므로 $\displaystyle {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} = 2$ ② 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 2$ 명일 때의 경우의 수는장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$ 에 $\displaystyle 2$ 명이 마스크 착용자인 경우의 수와 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$ 의 비감염자와 장소 $\displaystyle {\mathrm{C}}$ 의 감염자가 마스크를 쓴 경우의 수의 합이므로 $\displaystyle {}_{2} {\mathrm{C}} _ {2} + {}_{1} {\mathrm{C}} _ {1} \times {}_{1} {\mathrm{C}} _ {1} = 2$ ③ 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 3$ 명일 때의 경우의 수는 마스크 착용자인 감염자 수가 $\displaystyle 2$ 명이므로 없음.따라서 $\displaystyle 2 \times ( 2 + 2 ) = 2 \times 4 = 8$

그러므로 총 경우의 수는 $\displaystyle 36 + 18 + 8 = 62$ 이다.

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