자연계열 3번

장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$와 장소 $\displaystyle {\mathrm{C}}$의 비감염자가 바이러스에 감염되는 사건을 $\displaystyle D$, 비감염자가 마스크를 착용하는 사건을 $\displaystyle M$이라 하자.$\displaystyle \begin{gathered}{\mathrm{P}} ( M ) = \frac{{1}}{2} , {\mathrm{P}} ( D | M ) = \frac{{1}}{10} , {\mathrm{P}} \left( D | M^{C} \right) = \frac{{1}}{2}\end{gathered}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P(D)&=\mathrm P(D\cap M)+\mathrm P(D\cap M^C)\\&=\mathrm P(D|M)\times\mathrm P(M)+\mathrm P(D|M^C)\times\mathrm P(M^C)\\&=\frac1{10}\times\frac12+\frac12\times\frac12=\frac1{20}+\frac14=\frac3{10}\end{aligned}$이다.

(i) $\displaystyle X_{A} = 1 , X_{B} = 1 , X_{C} = 0$인 경우$\displaystyle p_{1} = {}_{3} {\mathrm{C}} _ {1} \left( \frac{{1}}{2} \right)^{3} \times {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} \left( \frac{{3}}{10} \right) \left( \frac{{7}}{10} \right) \times \frac{{7}}{10} = \frac{{3}}{2^{3}} \times \frac{{2 \times 3 \times 7}}{10^{2}} \times \frac{{7}}{10} = \frac{{2 \times 3^{2} \times 7^{2}}}{2^{6} \times 5^{3}}$

(ii) $\displaystyle X_{A} = 1 , X_{B} = 0 , X_{C} = 1$인 경우$\displaystyle p_{2} = {}_{3} {\mathrm{C}} _ {1} \left( \frac{{1}}{2} \right)^{3} \times {}_{2} {\mathrm{C}} _ {0} \left( \frac{{7}}{10} \right)^{2} \times \frac{{3}}{10} = \frac{{3}}{2^{3}} \times \frac{{7^{2}}}{10^{2}} \times \frac{{3}}{10} = \frac{{3^{2} \times 7^{2}}}{2^{6} \times 5^{3}}$

(iii) $\displaystyle X_{A} = 0 , X_{B} = 1 , X_{C} = 1$인 경우$\displaystyle p_{3} = {}_{3} {\mathrm{C}} _ {0} \left( \frac{{1}}{2} \right)^{3} \times {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} \left( \frac{{3}}{10} \right) \left( \frac{{7}}{10} \right) \times \frac{{3}}{10} = \frac{{1}}{2^{3}} \times \frac{{2 \times 3 \times 7}}{10^{2}} \times \frac{{3}}{10} = \frac{{2 \times 3^{2} \times 7}}{2^{6} \times 5^{3}}$

그러므로 구하는 확률은$\displaystyle p = p_{1} + p_{2} + p_{3} = \frac{{2 \times 3^{2} \times 7^{2}}}{2^{6} \times 5^{3}} + \frac{{3^{2} \times 7^{2}}}{2^{6} \times 5^{3}} + \frac{{2 \times 3^{2} \times 7}}{2^{6} \times 5^{3}} = \frac{{3^{2} \times 7}}{2^{6} \times 5^{3}} \times ( 14 + 7 + 2 ) = \frac{{3^{2} \times 7}}{2^{6} \times 5^{3}} \times 23$이다.따라서 $\displaystyle \alpha = 23$이다.

(i) 감염자가 장소 $\displaystyle {\mathrm{A}}$에서 $\displaystyle 1$명, 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$에서 $\displaystyle 1$명이 발생하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {1} \times {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} \times {}_{1} {\mathrm{C}} _ {0} = 6$이고

① 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 1$명일 때의 경우의 수 : 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$에만 있으므로 $\displaystyle {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} = 2$② 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 2$명일 때의 경우의 수 : $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {2} = 3$③ 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 3$명일 때의 경우의 수 : $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {3} = 1$따라서 $\displaystyle 6 \times ( 2 + 3 + 1 ) = 6 \times 6 = 36$

(ii) 감염자가 장소 $\displaystyle {\mathrm{A}}$에서 $\displaystyle 1$명, 장소 $\displaystyle {\mathrm{C}}$에서 $\displaystyle 1$명이 발생하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {1} \times {}_{2} {\mathrm{C}} _ {0} \times {}_{1} {\mathrm{C}} _ {1} = 3$이고

① 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 1$명일 때의 경우의 수 : 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$에만 있으므로 $\displaystyle {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} = 2$② 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 2$명일 때의 경우의 수 : $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {2} = 3$③ 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 3$명일 때의 경우의 수 : $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {3} = 1$따라서 $\displaystyle 3 \times ( 2 + 3 + 1 ) = 3 \times 6 = 18$

(iii) 감염자가 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$에서 $\displaystyle 1$명, 장소 $\displaystyle {\mathrm{C}}$에서 $\displaystyle 1$명이 발생하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3} {\mathrm{C}} _ {0} \times {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} \times {}_{1} {\mathrm{C}} _ {1} = 2$이고

① 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 1$명일 때의 경우의 수 : 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$에만 있으므로 $\displaystyle {}_{2} {\mathrm{C}} _ {1} = 2$② 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 2$명일 때의 경우의 수는장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$에 $\displaystyle 2$명이 마스크 착용자인 경우의 수와 장소 $\displaystyle {\mathrm{B}}$의 비감염자와 장소 $\displaystyle {\mathrm{C}}$의 감염자가 마스크를 쓴 경우의 수의 합이므로 $\displaystyle {}_{2} {\mathrm{C}} _ {2} + {}_{1} {\mathrm{C}} _ {1} \times {}_{1} {\mathrm{C}} _ {1} = 2$③ 마스크 착용자 수가 $\displaystyle 3$명일 때의 경우의 수는 마스크 착용자인 감염자 수가 $\displaystyle 2$명이므로 없음.따라서 $\displaystyle 2 \times ( 2 + 2 ) = 2 \times 4 = 8$