자연계열 2번

함수 $\displaystyle h ( x )$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}h(x)&=\int_0^x\{3(\pi+\cos t)^2+a(\pi+\cos t)+b\}dt\\&=\int_0^x\{3\cos^2t+(6\pi+a)\cos t+3\pi^2+\pi a+b\}dt\\&=\int_0^x\left\{3\left(\frac{\cos2t+1}{2}\right)+(6\pi+a)\cos t+3\pi^2+\pi a+b\right\}dt\\&=\int_0^x\left\{\frac32\cos2t+(6\pi+a)\cos t+3\pi^2+\pi a+b+\frac32\right\}dt\\&=\Biggl[\frac34\sin2t+(6\pi+a)\sin t+\left(3\pi^2+\pi a+b+\frac32\right)t\Biggr]_0^x\\&=\frac34\sin2x+(6\pi+a)\sin x+\left(3\pi^2+\pi a+b+\frac32\right)x\end{aligned}$

한편, $\displaystyle 3 \pi^{2} + \pi a + b + \frac{{3}}{2} \ne 0$이면 함수 $\displaystyle h ( x )$의 그래프는 주기를 가지면서 직선 $\displaystyle y = \left( 3 \pi^{2} + \pi a + b + \frac{{3}}{2} \right) x$에 의해 증가 형태 또는 감소 형태이므로 함수 $\displaystyle h ( x )$는 실수 전체에서 최솟값을 가지지 않는다.따라서 $\displaystyle 3 \pi^{2} + \pi a + b + \frac{{3}}{2} = 0$이고 함수 $\displaystyle h ( x )$는 다음과 같다.$\displaystyle h ( x ) = \frac{{3}}{4} {\sin} 2 x + ( 6 \pi + a ) {\sin} x$

사인함수의 성질에 의해$\displaystyle \begin{aligned}h(x+2\pi)&=\frac34\sin(2x+4\pi)+(6\pi+a)\sin(x+2\pi)\\&=\frac34\sin2x+(6\pi+a)\sin x\\&=h(x)\end{aligned}$이므로 $\displaystyle h ( x )$는 주기함수이다.

함수 $\displaystyle h ( x ) = \frac{{3}}{4} {\sin} 2 x + ( 6 \pi + a ) {\sin} x$는 미분가능하고, $\displaystyle x = \frac{{2}}{3} \pi$에서 최솟값을 가지므로 $\displaystyle h^{\prime} \left( \frac{{2}}{3} \pi \right) = 0$이다.$\displaystyle h^{\prime} ( x ) = \frac{{3}}{2} {\cos} 2 x + ( 6 \pi + a ) {\cos} x$이고,$\displaystyle h^{\prime} \left( \frac{{2}}{3} \pi \right) = - \frac{{3}}{4} - \frac{{1}}{2} ( 6 \pi + a ) = - 3 \pi - \frac{{3}}{4} - \frac{{1}}{2} a = 0$이므로 $\displaystyle a = - 6 \pi - \frac{{3}}{2}$이다.$\displaystyle 3\pi^2+\pi\left(-6\pi-\frac32\right)+b+\frac32=0$이므로 $\displaystyle b=3\pi^2+\frac32\pi-\frac32$이다.

또한,$\displaystyle h^{\prime} \left( \frac{{2}}{3} \pi \right) = f \left( g \left( \frac{{2}}{3} \pi \right) \right) = f \left( \pi - \frac{{1}}{2} \right) = 0$이므로 $\displaystyle f ( x ) = 0$은 $\displaystyle \pi - \frac{{1}}{2}$을 근으로 갖는다.

한편, $\displaystyle f ( x ) = 3 x^{2} + a x + b$이므로 $\displaystyle f ( x ) = 0$의 두 근을 $\displaystyle \alpha , \beta$라 하면, 이때 근과 계수의 관계에 의해$\displaystyle \alpha + \beta = - \frac{{a}}{3} = 2 \pi + \frac{{1}}{2} , \alpha \beta = \frac{{b}}{3} = \pi^{2} + \frac{{\pi}}{2} - \frac{{1}}{2}$이고,$\displaystyle ( \alpha - \beta )^{2} = ( \alpha + \beta )^{2} - 4 \alpha \beta = \left( 2 \pi + \frac{{1}}{2} \right)^{2} - 4 \left( \pi^{2} + \frac{{\pi}}{2} - \frac{{1}}{2} \right) = \frac{{9}}{4}$이다. 따라서 $\displaystyle | \alpha - \beta | = \frac{{3}}{2}$이다.