자연계열 1번

(1-1) 점 $\displaystyle \mathrm{A}(0,0,d)$와 $\displaystyle \mathrm{P}(a,b,c)$를 지나는 직선의 방향벡터를 $\displaystyle \vec v$라 하면$\displaystyle \vec v=\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(a,b,c-d)$이므로 이 직선의 방정식을 매개변수 $\displaystyle t$를 이용하여 나타내면$\displaystyle x=at,\quad y=bt,\quad z=d+t(c-d)$이다.

$\displaystyle z=0$이면 $\displaystyle t=\frac d{d-c}$이고 이를 직선의 식에 다시 대입하면 다음을 얻는다.$\displaystyle x=\frac{ad}{d-c},\quad y=\frac{bd}{d-c}$

(1-2) 점 $\displaystyle \mathrm{A}(0,0,3)$에서 나온 빛이 $\displaystyle \mathrm{P}(a,1,c)$를 지날 때를 생각하면 위의 풀이에서 $\displaystyle b=1,\;d=3$인 경우이므로$\displaystyle x=\frac{3a}{3-c},\quad y=\frac3{3-c}$ …… (1.1)인데 $\displaystyle \mathrm{P}$가 $\displaystyle D$의 위쪽 경계에 위치해야 하므로$\displaystyle (a-1)^2+c^2=1\;(c\ge0)$ …… (1.2)

이 식의 양변에 $\displaystyle y^2$을 곱하여 간단히 하면 곡선 $\displaystyle S$의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle (x-y)^2+(3y-3)^2=y^2\;(y\ge1)$ …… (1.3)

(1-3) 식 (1.3)으로 주어진 곡선 $\displaystyle S$의 식에서 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$일 때 $\displaystyle y$좌표가 최대가 됨을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle y$를 $\displaystyle x$의 함수로 보고 음함수 미분법을 적용하여 식 (1.3)의 양변을 변수 $\displaystyle x$에 관하여 미분하면$\displaystyle 2(x-y)\left(1-\frac{dy}{dx}\right)+2(3y-3)\cdot3\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}$ …… (1.4)

이므로 $\displaystyle y=\frac32$ 또는 $\displaystyle y=\frac34$인데 $\displaystyle y\ge1$이므로 $\displaystyle y=\frac32$이다. 식 (1.5)에서 $\displaystyle x=\frac32$이므로 $\displaystyle y$값이 최대가 되는 점 $\displaystyle \mathrm{R}(x,y)$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac32,\frac32\right)$이다.