자연계열 3번

(왜냐하면 $\displaystyle u(x)=e^{\frac x3}-x^2$라 할 때 $\displaystyle f(x)=|u(x)|$이고 $\displaystyle u(\beta)=0$, $\displaystyle u\prime(\beta)>0$이므로$\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{f(\beta+h)-f(\beta)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{u(\beta+h)-u(\beta)}h=u\prime(\beta)>0$이고$\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{f(\beta+h)-f(\beta)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{-\{u(\beta+h)-u(\beta)\}}h=-u\prime(\beta)<0$

이기 때문이다. 일반적으로 미분가능한 함수 $\displaystyle v(x)$에 대하여 $\displaystyle v(c)=0$일 때 함수 $\displaystyle |v(x)|$가 $\displaystyle x=c$에서 미분가능하기 위해서는 $\displaystyle v\prime(c)=0$이어야 한다. 따라서 미분가능한 함수 $\displaystyle v_1(x)$와 $\displaystyle v_2(x)$에 대하여 $\displaystyle v_1(c)=v_2(c)$일 때 함수 $\displaystyle |v_1(x)-v_2(x)|$가 $\displaystyle x=c$에서 미분가능하기 위해서는 $\displaystyle v_1\prime(c)=v_1\prime(c)$이어야 한다. 즉 함수 $\displaystyle v_1(x)$와 $\displaystyle v_2(x)$는 $\displaystyle x=c$에서 공통 접선을 가져야 한다.)Correction. (3-3)에서 $\displaystyle |v_1-v_2|$가 교점에서 미분가능하기 위한 조건은 $\displaystyle v_1\prime(c)=v_2\prime(c)$이다. 원문의 오른쪽 아래첨자 $\displaystyle 1$은 $\displaystyle 2$의 오기이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

(3-2)의 풀이로부터 곡선 $\displaystyle y=e^{ax}$과 곡선 $\displaystyle y=x^2$은

(i) $\displaystyle a=\frac2e$일 때 제1사분면의 한 점에서 공통 접선을 갖고

(ii) $\displaystyle 0<a<\frac2e$일 때 제1사분면의 두 점에서 만나고

(iii) $\displaystyle \frac2e<a$일 때 제1사분면에서는 만나지 않는다.

참고로 $\displaystyle x>0$일 때, 방정식 $\displaystyle e^{ax}=x^2$의 양변에 자연로그를 취하면 $\displaystyle ax=2\ln x$이므로 직선 $\displaystyle y=ax$와 곡선 $\displaystyle y=2\ln x$의 위치관계를 생각하면 다음 그림으로부터 (ii)와 (iii)의 결과를 쉽게 확인할 수 있다.

(3-4) 앞에서와 같은 방법으로 계산하면 $\displaystyle k$가 짝수일 때, 양의 실수 $\displaystyle a$에 대한 $\displaystyle y=e^{ax}$의 그래프와 $\displaystyle y=x^k$의 그래프의 개형으로부터 두 곡선은 적어도 제2사분면의 한 점에서 만나며 그 점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \beta$라 하면 $\displaystyle p_k(x)=|e^{ax}-x^k|$는 $\displaystyle x=\beta$에서 미분가능하지 않음을 알 수 있다. $\displaystyle k$가 홀수일 때는 곡선 $\displaystyle y=e^{ax}$와 $\displaystyle y=x^k$는 제2사분면에서 만나지 않는다.

제1사분면에서는 $\displaystyle a=\frac ke$일 때 $\displaystyle y=e^{ax}$는 $\displaystyle x^k$와 한 점에서 공통접선을 갖고, $\displaystyle a<\frac ke$이면 두 곡선은 두 점에서 만나며, $\displaystyle a>\frac ke$이면 만나지 않는다. 따라서 다음과 같은 표를 얻는다.

$\displaystyle g(x)=\sum_{k=1}^n|e^{ax}-x^k|$의 미분가능하지 않은 점의 수는 식 (3.1)에 나타낸 수열의 첫째 항부터 제 $\displaystyle n$항까지의 합과 같다. 이는 서로 다른 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle p_k(x)$의 미분가능하지 않은 점의 위치가 모두 다르기 때문이다. 왜냐하면, $\displaystyle e^{ax}=x^k$일 때 양변에 자연로그를 취하면 $\displaystyle k$가 홀수일 때$\displaystyle ax=k\ln x\;(x>0)$이고, $\displaystyle k$가 짝수일 때$\displaystyle ax=k\ln|x|\;(x\ne0)$

인데, 직선 $\displaystyle y=ax$와 이들 곡선의 교점의 위치는 $\displaystyle k$가 달라지면 모두 다르게 나타나기 때문이다. (예를 들어 아래 그림은 $\displaystyle k=8$일 때와 $\displaystyle k=10$일 때를 설명하는 그림이다.)