10점 · 치환적분하여 g ( x ) = ∫ 0 x ( x − u ) { f ( u ) } 2 d u \displaystyle g(x)=\int_0^x(x-u)\{f(u)\}^2du g ( x ) = ∫ 0 x ( x − u ) { f ( u ) } 2 d u (2-1) g ( x ) \displaystyle g(x) g ( x ) u = x − t \displaystyle u=x-t u = x − t g ( x ) = ∫ 0 x t { f ( x − t ) } 2 d t = ∫ 0 x ( x − u ) { f ( u ) } 2 d u \displaystyle g(x)=\int_0^xt\{f(x-t)\}^2dt=\int_0^x(x-u)\{f(u)\}^2du g ( x ) = ∫ 0 x t { f ( x − t ) } 2 d t = ∫ 0 x ( x − u ) { f ( u ) } 2 d u
이므로, 주어진 조건식을 다시 쓰면 다음과 같다. 2 g ( x ) = 2 ∫ 0 x ( x − t ) { f ( t ) } 2 d t = 1 2 x 2 − 1 2 sin 2 x \displaystyle 2g(x)=2\int_0^x(x-t)\{f(t)\}^2dt=\frac12x^2-\frac12\sin^2x 2 g ( x ) = 2 ∫ 0 x ( x − t ) { f ( t ) } 2 d t = 2 1 x 2 − 2 1 sin 2 x
15점 · g ( x ) = 1 4 x 2 − 1 4 sin 2 x \displaystyle g(x)=\frac14x^2-\frac14\sin^2x g ( x ) = 4 1 x 2 − 4 1 sin 2 x 따라서 다음이 성립한다. g ( x ) = ∫ 0 x ( x − t ) { f ( t ) } 2 d t = 1 4 x 2 − 1 4 sin 2 x \displaystyle g(x)=\int_0^x(x-t)\{f(t)\}^2dt=\frac14x^2-\frac14\sin^2x g ( x ) = ∫ 0 x ( x − t ) { f ( t ) } 2 d t = 4 1 x 2 − 4 1 sin 2 x
20점 · g ( π ) = π 2 4 \displaystyle g(\pi)=\frac{\pi^2}4 g ( π ) = 4 π 2 그러므로 g ( π ) = π 2 4 \displaystyle g(\pi)=\frac{\pi^2}4 g ( π ) = 4 π 2
(2-2) 식 (2.1)의 적분식을 전개하여 다시 쓰면 다음과 같다. x ∫ 0 x { f ( t ) } 2 d t − ∫ 0 x t { f ( t ) } 2 d t = 1 4 x 2 − 1 4 sin 2 x \displaystyle x\int_0^x\{f(t)\}^2dt-\int_0^xt\{f(t)\}^2dt=\frac14x^2-\frac14\sin^2x x ∫ 0 x { f ( t ) } 2 d t − ∫ 0 x t { f ( t ) } 2 d t = 4 1 x 2 − 4 1 sin 2 x
이 식의 양변을 변수 x \displaystyle x x ∫ 0 x { f ( t ) } 2 d t = 1 2 x − 1 2 sin x cos x \displaystyle \int_0^x\{f(t)\}^2dt=\frac12x-\frac12\sin x\cos x ∫ 0 x { f ( t ) } 2 d t = 2 1 x − 2 1 sin x cos x
10점 · { f ( x ) } 2 = sin 2 x \displaystyle \{f(x)\}^2=\sin^2x { f ( x ) } 2 = sin 2 x 이 식의 양변을 변수 x \displaystyle x x { f ( x ) } 2 = 1 2 − 1 2 cos 2 x + 1 2 sin 2 x = 1 2 sin 2 x + 1 2 sin 2 x = sin 2 x \displaystyle \{f(x)\}^2=\frac12-\frac12\cos^2x+\frac12\sin^2x=\frac12\sin^2x+\frac12\sin^2x=\sin^2x { f ( x ) } 2 = 2 1 − 2 1 cos 2 x + 2 1 sin 2 x = 2 1 sin 2 x + 2 1 sin 2 x = sin 2 x
f ( x ) \displaystyle f(x) f ( x ) [ n π , ( n + 1 ) π ] ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ , 99 ) \displaystyle [n\pi,(n+1)\pi]\;(n=0,1,2,\cdots,99) [ nπ , ( n + 1 ) π ] ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ , 99 ) f ( x ) = sin x 또는 f ( x ) = − sin x \displaystyle f(x)=\sin x\text{ 또는 }f(x)=-\sin x f ( x ) = sin x 또는 f ( x ) = − sin x 이다. 따라서 ∫ 0 π sin x d x = 2 , ∫ 0 π ( − sin x ) d x = − 2 \displaystyle \int_0^\pi\sin xdx=2,\quad\int_0^\pi(-\sin x)dx=-2 ∫ 0 π sin x d x = 2 , ∫ 0 π ( − sin x ) d x = − 2
20점 · ∫ 0 100 π f ( x ) d x \displaystyle \int_0^{100\pi}f(x)dx ∫ 0 100 π f ( x ) d x − 200 , − 196 , − 192 , ⋯ , − 4 , 0 , 4 , ⋯ , 192 , 196 , 200 \displaystyle -200,-196,-192,\cdots,-4,0,4,\cdots,192,196,200 − 200 , − 196 , − 192 , ⋯ , − 4 , 0 , 4 , ⋯ , 192 , 196 , 200 임을 이용하면 ∫ 0 100 π f ( x ) d x \displaystyle \int_0^{100\pi}f(x)dx ∫ 0 100 π f ( x ) d x − 200 , − 196 , − 192 , ⋯ , − 4 , 0 , 4 , ⋯ , 192 , 196 , 200 \displaystyle -200,\;-196,\;-192,\;\cdots,\;-4,\;0,\;4,\;\cdots,\;192,\;196,\;200 − 200 , − 196 , − 192 , ⋯ , − 4 , 0 , 4 , ⋯ , 192 , 196 , 200
5점 · k = 1 200 \displaystyle k=\frac1{200} k = 200 1 (2-3) 닫힌구간 [ 0 , 100 π ] \displaystyle [0,100\pi] [ 0 , 100 π ] k \displaystyle k k p ( x ) = k f ( x ) \displaystyle p(x)=kf(x) p ( x ) = k f ( x ) p ( x ) ≥ 0 \displaystyle p(x)\ge0 p ( x ) ≥ 0 이어야 하므로 f ( x ) = ∣ sin x ∣ \displaystyle f(x)=|\sin x| f ( x ) = ∣ sin x ∣ ∫ 0 100 π p ( x ) d x = k ∫ 0 100 π ∣ sin x ∣ d x = 200 k = 1 \displaystyle \int_0^{100\pi}p(x)dx=k\int_0^{100\pi}|\sin x|dx=200k=1 ∫ 0 100 π p ( x ) d x = k ∫ 0 100 π ∣ sin x ∣ d x = 200 k = 1 이므로 k = 1 200 \displaystyle k=\frac1{200} k = 200 1
10점 · p ( x ) \displaystyle p(x) p ( x ) 따라서 확률밀도함수 p ( x ) \displaystyle p(x) p ( x ) p ( x ) = 1 200 ∣ sin x ∣ \displaystyle p(x)=\frac1{200}|\sin x| p ( x ) = 200 1 ∣ sin x ∣
15점 · E ( X ) = 1 200 ∫ 0 100 π x ∣ sin x ∣ d x \displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac1{200}\int_0^{100\pi}x|\sin x|dx E ( X ) = 200 1 ∫ 0 100 π x ∣ sin x ∣ d x 또한 부분적분법을 이용하여 연속확률변수 X \displaystyle X X E ( X ) = ∫ 0 100 π x p ( x ) d x \displaystyle \mathrm{E}(X)=\int_0^{100\pi}xp(x)dx E ( X ) = ∫ 0 100 π x p ( x ) d x = 1 200 ∫ 0 100 π x ∣ sin x ∣ d x \displaystyle =\frac1{200}\int_0^{100\pi}x|\sin x|dx = 200 1 ∫ 0 100 π x ∣ sin x ∣ d x
= 1 200 { ∫ 0 π x sin x d x − ∫ π 2 π x sin x d x + ∫ 2 π 3 π x sin x d x − ∫ 3 π 4 π x sin x d x + ⋯ + ∫ 98 π 99 π x sin x d x − ∫ 99 π 100 π x sin x d x } \displaystyle =\frac1{200}\left\{\int_0^\pi x\sin xdx-\int_\pi^{2\pi}x\sin xdx+\int_{2\pi}^{3\pi}x\sin xdx-\int_{3\pi}^{4\pi}x\sin xdx+\cdots+\int_{98\pi}^{99\pi}x\sin xdx-\int_{99\pi}^{100\pi}x\sin xdx\right\} = 200 1 { ∫ 0 π x sin x d x − ∫ π 2 π x sin x d x + ∫ 2 π 3 π x sin x d x − ∫ 3 π 4 π x sin x d x + ⋯ + ∫ 98 π 99 π x sin x d x − ∫ 99 π 100 π x sin x d x }
= 1 200 { [ sin x − x cos x ] 0 π − [ sin x − x cos x ] π 2 π + [ sin x − x cos x ] 2 π 3 π − [ sin x − x cos x ] 3 π 4 π + ⋯ + [ sin x − x cos x ] 98 π 99 π } \displaystyle =\frac1{200}\left\{\Biggl[\sin x-x\cos x\Biggr]_0^\pi-\Biggl[\sin x-x\cos x\Biggr]_\pi^{2\pi}+\Biggl[\sin x-x\cos x\Biggr]_{2\pi}^{3\pi}-\Biggl[\sin x-x\cos x\Biggr]_{3\pi}^{4\pi}+\cdots+\Biggl[\sin x-x\cos x\Biggr]_{98\pi}^{99\pi}\right\} = 200 1 ⎩ ⎨ ⎧ [ sin x − x cos x ] 0 π − [ sin x − x cos x ] π 2 π + [ sin x − x cos x ] 2 π 3 π − [ sin x − x cos x ] 3 π 4 π + ⋯ + [ sin x − x cos x ] 98 π 99 π ⎭ ⎬ ⎫ Correction. (2-3)의 부분적분 경계값 전개에는 마지막 항 − [ sin x − x cos x ] 99 π 100 π \displaystyle -\Biggl[\sin x-x\cos x\Biggr]_{99\pi}^{100\pi} − [ sin x − x cos x ] 99 π 100 π 100 π + 99 π \displaystyle 100\pi+99\pi 100 π + 99 π
= 1 200 { π + ( 2 π + π ) + ( 3 π + 2 π ) + ⋯ + ( 99 π + 98 π ) + ( 100 π + 99 π ) } \displaystyle =\frac1{200}\{\pi+(2\pi+\pi)+(3\pi+2\pi)+\cdots+(99\pi+98\pi)+(100\pi+99\pi)\} = 200 1 { π + ( 2 π + π ) + ( 3 π + 2 π ) + ⋯ + ( 99 π + 98 π ) + ( 100 π + 99 π )}
= 1 200 ( π + 3 π + 5 π + ⋯ + 197 π + 199 π ) \displaystyle =\frac1{200}(\pi+3\pi+5\pi+\cdots+197\pi+199\pi) = 200 1 ( π + 3 π + 5 π + ⋯ + 197 π + 199 π )
20점 · 적분을 계산하여 E ( X ) \displaystyle \mathrm{E}(X) E ( X ) = 50 π \displaystyle =50\pi = 50 π
=> 2-3번 문항(연속확률변수에서의 평균을 구하는 과정)은 교육과정의 개정으로 인하여 2017학년도 출제범위에서 제외되었습니다. 논술고사 준비 시 해당 문항 이외의 기출문제를 참고하여 주시기 바라며, 수험생 여러분께 혼동을 드린 점 양해 부탁드리겠습니다.
수리논술, 이게 다다.