자연계열 1번

(1-1) $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$가 가위바위보 게임에서 낸 것을 $\displaystyle (A,B)$와 같이 순서쌍으로 나타내자. $\displaystyle A$가 $\displaystyle B$와 비기기 위해서는 (바위, 바위)가 되어야 한다.

$\displaystyle A$가 $\displaystyle B$를 이기기 위해서는 (가위,보)가 되어야 한다.

$\displaystyle A$가 $\displaystyle B$에게 지는 방법은 (가위, 바위)와 (바위, 보) 이렇게 두 가지가 있다.

이렇게 다섯 개의 순서쌍을 가져야 한다. 그러므로 가능한 방법의 수는 $\displaystyle 2\times3$ 즉 6가지이다.

(1-2) 조건에 의해서 (가위,보), (바위,바위), (가위,바위), (바위,보) 중 $\displaystyle A$가 $\displaystyle B$를 이긴 경우는 (가위,보)이므로 $\displaystyle A$가 $\displaystyle B$를 이길 확률은 $\displaystyle \frac14$이다.

따라서, 게임을 $\displaystyle n$번 했을 때 $\displaystyle A$가 1번 이상 이길 확률은 $\displaystyle n$번 모두 이기지 못하는 확률의 여확률이므로 $\displaystyle 1-\left(\frac34\right)^n$이 된다. 그러므로 $\displaystyle 1-\left(\frac34\right)^n\ge0.5$를 풀면

$\displaystyle n\ge3$이므로 3번 이상 게임을 해야 한다.

(1-3) $\displaystyle X=9^k$일 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(X=9^k)={}_nC_k\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{n-k}$이므로

$\displaystyle \mathrm{E}(X)=\sum_{k=0}^n9^k\times{}_nC_k\left(\frac14\right)^k\left(\frac34\right)^{n-k}=\sum_{k=0}^n{}_nC_k\left(\frac94\right)^k\left(\frac34\right)^{n-k}$

$\displaystyle =\left(\frac94+\frac34\right)^n=3^n$이다.