자연계열 3번

(3-1) $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle 2+a\int_0^1tf\prime(t)dt=0$이므로 $\displaystyle \int_0^1tf\prime(t)dt=-\frac2a$이다.

따라서 $\displaystyle \int_0^xf(t)dt=\frac13x^3+x^2+2+a\left(\frac12x^2+1\right)\cdot\left(-\frac2a\right)=\frac13x^3$이다. 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle f(x)=x^2$이다.

$\displaystyle 0=2+a\int_0^1tf\prime(t)dt=2+a\int_0^12t^2dt=2+\frac23a$이므로 $\displaystyle a=-3$이다.

(3-2) 만나는 점을 $\displaystyle (b,b^2)$이라 하면 $\displaystyle b^2+(b^2-h)^2=x^2$이므로 $\displaystyle (-b,b^2)$도 역시 만나는 점이 된다.따라서 $\displaystyle b=-b$가 되어 $\displaystyle b=0$이다. 즉 원점에서 만나고 그 외의 점에서는 만나면 안 된다.

$\displaystyle x^2+(y-h)^2=r^2$가 원점을 지나므로 $\displaystyle h=r$이다. 따라서 $\displaystyle x^2+(y-r)^2=r^2$와 $\displaystyle y=x^2$은 원점에서만 만나야 한다. 연립하여 풀면 $\displaystyle x^2+(x^2-r)^2=r^2$이 되어 $\displaystyle x^2+x^4-2rx^2=0$이다. $\displaystyle x=0$은 이 방정식의 해이고 $\displaystyle x=0$ 이외의 값은 해가 될 수 없다. 즉 $\displaystyle 1+x^2-2r=0$은 $\displaystyle x=0$ 이외의 해를 가지면 안 된다. 따라서 $\displaystyle x^2=2r-1\le0$가 되어야 하고

$\displaystyle r\le\frac12$이다. 그러므로 $\displaystyle r$의 최댓값은 $\displaystyle \frac12$이다.

(3-3) $\displaystyle x^2+y^2-6x+8=0$에서 $\displaystyle (x-3)^2+y^2=1$을 얻을 수 있으므로 중심이 $\displaystyle (3,0)$이고 반지름이 1인 원이다.

곡선 $\displaystyle y=f(x)$위의 점 $\displaystyle (t,t^2)$과 원의 중심 $\displaystyle (3,0)$사이의 거리의 제곱을 $\displaystyle g(t)$라 하면, $\displaystyle g(t)=(t-3)^2+(t^2-0)^2=t^4+t^2-6t+9$이다.

따라서 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=1$에서 최솟값 $\displaystyle 5$를 갖는다.

곡선 $\displaystyle y=f(x)$위의 점과 원의 중심 $\displaystyle (3,0)$사이의 거리의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt5$이다. 그러므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$위의 점과 원 $\displaystyle x^2+y^2-6x+8=0$위의 점 사이의 거리의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt5-1$이다.

(3-4) 문제의 조건을 만족하기 위해서는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 점 $\displaystyle P(t,f(t))$에서의 접선의 기울기와 곡선 $\displaystyle y=-\frac12(x-2)^2+\frac14=h(x)$의 점 $\displaystyle R(s,h(s))$에서의 접선의 기울기가 같아야 한다. 따라서 $\displaystyle 2t=2-s$이다.즉 $\displaystyle s=2-2t$가 된다.

이 때, $\displaystyle \overline{PR}^2=(t-(2-2t))^2+(t^2-h(2-2t))^2=9t^4+\frac{15}2t^2-12t+\frac{65}{16}$

미분하여 인수분해하면 $\displaystyle 3(2t-1)(6t^2+3t+4)$이므로 $\displaystyle t=\frac12$에서 최솟값을 가진다. 이 때, $\displaystyle s=1$이다.

선분 $\displaystyle \overline{PR}$의 길이가 최소가 되도록 하는 두 점이 $\displaystyle P\left(\frac12,\frac14\right)$, $\displaystyle R\left(1,-\frac14\right)$이므로 답은 $\displaystyle \overline{PR}=\frac{\sqrt2}2$이다.