자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle \overrightarrow{OA}$가 평면 $\displaystyle -x+2y+3z=1$에 수직이므로 $\displaystyle \overrightarrow{OA}$와 $\displaystyle (-1,2,3)$는 평행하다.

그러므로 $\displaystyle \overrightarrow{OA}=(-t,2t,3t)$이고

$\displaystyle A$는 평면 $\displaystyle -x+2y+3z=1$ 위에 있으므로 $\displaystyle t+4t+9t=1$이다. 따라서 $\displaystyle t=\frac1{14}$이고 $\displaystyle A\left(-\frac1{14},\frac17,\frac3{14}\right)$이다.

(2-2) $\displaystyle \overrightarrow{OB}$가 평면 $\displaystyle x+z=1$에 수직이므로 $\displaystyle \overrightarrow{OB}$와 $\displaystyle (1,0,1)$은 평행하다. 그러므로 $\displaystyle \overrightarrow{OB}=(t,0,t)$이고 $\displaystyle B$는 평면 $\displaystyle x+z=1$ 위에 있으므로 $\displaystyle t+t=1$이다. 따라서 $\displaystyle t=\frac12$이고 $\displaystyle B\left(\frac12,0,\frac12\right)$이다.

$\displaystyle \angle AOB=\alpha$라 하고 내적을 계산하면 $\displaystyle -\frac1{28}+\frac3{28}=\frac1{\sqrt{14}}\cdot\frac1{\sqrt2}\cos\alpha$가 되어 $\displaystyle \cos\alpha=\frac1{\sqrt7}=\frac{\sqrt7}7$이다.

(2-3) $\displaystyle \angle POB=\frac\pi4$이므로

$\displaystyle \angle POA$의 최댓값은 $\displaystyle \alpha+\frac\pi4$이다.

따라서 $\displaystyle \cos(\angle POA)$의 최솟값은 $\displaystyle \cos\left(\alpha+\frac\pi4\right)$이다.

그러므로 내적 $\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}$의 최솟값은 $\displaystyle |\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OA}|\cos\left(\alpha+\frac\pi4\right)=1\cdot\frac1{\sqrt{14}}\left(\cos\alpha\cos\frac\pi4-\sin\alpha\sin\frac\pi4\right)$$\displaystyle =\frac1{\sqrt{14}}\left(\frac1{\sqrt7}\cdot\frac1{\sqrt2}-\frac{\sqrt6}{\sqrt7}\cdot\frac1{\sqrt2}\right)=\frac{1-\sqrt6}{14}$이다.