자연계열 1번

(1-1) $\displaystyle \mathrm{P}(2<\overline X<4)=\mathrm{P}(4<X_1+X_2<8)$

$\displaystyle =\mathrm{P}(X_1=2,X_2=3)+\mathrm{P}(X_1=3,X_2=2)+\mathrm{P}(X_1=3,X_2=3)$

$\displaystyle =(1-a)\times\frac a2+\frac a2\times(1-a)+\frac a2\times\frac a2=\frac14a(4-3a)$

(1-2) 방의 개수에 대한 기댓값은 $\displaystyle 1\times\frac a2+2\times(1-a)+3\times\frac a2=2$이다.따라서 $\displaystyle \mathrm{E}(X_k)=2,k=1,2,\ldots,100$이다.

그러므로 $\displaystyle \mathrm{E}(T)=\frac1{100}\sum_{k=1}^{100}k\mathrm{E}(X_k)=\frac2{100}\sum_{k=1}^{100}k=\frac2{100}\times\frac{100\times101}2=101$이다.

(1-3) 방의 개수가 1개 또는 3개인 아파트의 수를 $\displaystyle Y$라 하면, $\displaystyle Y$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}(100,a)$를 따른다.

따라서 $\displaystyle \hat a=\frac Y{100}$이고, $\displaystyle \frac{Y-100\times a}{\sqrt{100\times a(1-a)}}=\frac{\frac Y{100}-a}{\sqrt{\frac{a(1-a)}{100}}}$는 근사적으로 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$를 따른다.

그러므로 $\displaystyle a$에 대한 95%의 신뢰구간은 다음과 같다.$\displaystyle \left(\frac15-1.96\times\sqrt{\frac{1/5\times4/5}{100}},\frac15+1.96\times\sqrt{\frac{1/5\times4/5}{100}}\right)$

$\displaystyle =\left(\frac{125-49}{625},\frac{125+49}{625}\right)=\left(\frac{76}{625},\frac{174}{625}\right)=(0.1216,0.2784)$