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자연계열 2번

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세종대 2020학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2020mo/jayeon_2

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[문제 2] 삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}는 반지름이 1이고 중심이 O\displaystyle \mathrm{O}인 원에 외접한다. 아래 그림과 같이 삼각형의 변 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}, BC‾\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}, AC‾\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}와 원의 교점을 각각 P,Q,R\displaystyle \mathrm{P,Q,R}이라 하자. 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}, AC\displaystyle \mathrm{AC}의 길이는 각각 332\displaystyle \frac{3\sqrt3}2, 43\displaystyle 4\sqrt3이고 각 A\displaystyle \mathrm{A}는 π3\displaystyle \frac\pi3이다. 다음 물음에 각각 답하시오.

삼각형 ABC에 내접하는 원과 접점 P Q R

(2-1) 벡터 AB→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}를 두 벡터 OP→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}와 OR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}로 나타내시오. (70점)

(2-2) 벡터 BC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BC}}를 두 벡터 OP→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}와 OR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}로 나타내시오. (80점)

(2-3) 벡터 OQ→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}를 두 벡터 OP→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}와 OR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}로 나타내시오. (80점)

해설강의 준비중

세종대 2020학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2020mo/jayeon_2

(2-1) 각 A\displaystyle \mathrm{A}는 π3\displaystyle \frac\pi3이므로 ∠POR=23π\displaystyle \angle\mathrm{POR}=\frac23\pi이다. 따라서 OP→⋅OR→=−12\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OR}}=-\frac12이다.

+20점 · AB→=aOP→+bOR→\displaystyle \overrightarrow{AB}=a\overrightarrow{OP}+b\overrightarrow{OR}

AB→=aOP→+bOR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}=a\overrightarrow{\mathrm{OP}}+b\overrightarrow{\mathrm{OR}}라 하면,

+20점 · 0=AB→⋅OP→=a−b2\displaystyle 0=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OP}=a-\frac b2

0=AB→⋅OP→=(aOP→+bOR→)⋅OP→=a−b2\displaystyle 0=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(a\overrightarrow{\mathrm{OP}}+b\overrightarrow{\mathrm{OR}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}=a-\frac b2이므로

AB→=aOP→+2aOR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}=a\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2a\overrightarrow{\mathrm{OR}}이다. 또한 274=AB→⋅AB→=3a2\displaystyle \frac{27}4=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3a^2이므로 a=±32\displaystyle a=\pm\frac32이다.

+30점 · 답: AB→=−32OP→−3OR→\displaystyle \overrightarrow{AB}=-\frac32\overrightarrow{OP}-3\overrightarrow{OR}

방향을 고려하면 a=−32\displaystyle a=-\frac32이므로 AB→=−32OP→−3OR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\frac32\overrightarrow{\mathrm{OP}}-3\overrightarrow{\mathrm{OR}}이 된다.

+20점 · BC→=AC→−AB→\displaystyle \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}

(2-2) BC→=AC→−AB→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}이다.

풀이 (2-1)과 같이 하면 다음과 같이 AC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}를 OP→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}와 OR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}로 나타낼 수 있다.

AC→=aOP→+bOR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=a\overrightarrow{\mathrm{OP}}+b\overrightarrow{\mathrm{OR}}로 하면, 0=AC→⋅OR→=(aOP→+bOR→)⋅OR→=−a2+b\displaystyle 0=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(a\overrightarrow{\mathrm{OP}}+b\overrightarrow{\mathrm{OR}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{OR}}=-\frac a2+b이므로

AC→=2bOP→+bOR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2b\overrightarrow{\mathrm{OP}}+b\overrightarrow{\mathrm{OR}}이다.

또한 48=AC→⋅AC→=3b2\displaystyle 48=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=3b^2이므로 b=±4\displaystyle b=\pm4이다.

+30점 · AC→=−8OP→−4OR→\displaystyle \overrightarrow{AC}=-8\overrightarrow{OP}-4\overrightarrow{OR}

방향을 고려하면 b=−4\displaystyle b=-4이므로 AC→=−8OP→−4OR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-8\overrightarrow{\mathrm{OP}}-4\overrightarrow{\mathrm{OR}}이 된다.

+30점 · 답: BC→=−132OP→−OR→\displaystyle \overrightarrow{BC}=-\frac{13}2\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OR}

따라서 BC→=AC→−AB→=−8OP→−4OR→+32OP→+3OR→=−132OP→−OR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-8\overrightarrow{\mathrm{OP}}-4\overrightarrow{\mathrm{OR}}+\frac32\overrightarrow{\mathrm{OP}}+3\overrightarrow{\mathrm{OR}}=-\frac{13}2\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OR}}이다.

+20점 · OQ→=OP→+PB→+BQ→\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BQ}

(2-3) OQ→=OP→+PB→+BQ→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}이다.

∠OAP=π6\displaystyle \angle\mathrm{OAP}=\frac\pi6로부터 AP‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\sqrt3이므로 PB‾=AB‾−AP‾=32\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{AB}}-\overline{\mathrm{AP}}=\frac{\sqrt3}2이다.

+20점 · PB→=−12OP→−OR→\displaystyle \overrightarrow{PB}=-\frac12\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OR}

따라서 PB→=PB‾AB‾AB→=32332(−32OP→−3OR→)=−12OP→−OR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\frac{\overline{\mathrm{PB}}}{\overline{\mathrm{AB}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{\frac{\sqrt3}2}{\frac{3\sqrt3}2}\left(-\frac32\overrightarrow{\mathrm{OP}}-3\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right)=-\frac12\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OR}}이다.

BC→=−132OP→−OR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BC}}=-\frac{13}2\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OR}}로부터 BC‾=732\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\frac{7\sqrt3}2이다.

한편, BQ‾=PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=\overline{\mathrm{PB}}이다.

+20점 · BQ→=−1314OP→−17OR→\displaystyle \overrightarrow{BQ}=-\frac{13}{14}\overrightarrow{OP}-\frac17\overrightarrow{OR}

BQ→=BQ‾BC‾BC→=32732(−132OP→−OR→)=−1314OP→−17OR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\frac{\overline{\mathrm{BQ}}}{\overline{\mathrm{BC}}}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{\frac{\sqrt3}2}{\frac{7\sqrt3}2}\left(-\frac{13}2\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right)=-\frac{13}{14}\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\frac17\overrightarrow{\mathrm{OR}}이다.

+20점 · 답: OQ→=−37OP→−87OR→\displaystyle \overrightarrow{OQ}=-\frac37\overrightarrow{OP}-\frac87\overrightarrow{OR}

따라서, OQ→=−37OP→−87OR→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac37\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\frac87\overrightarrow{\mathrm{OR}}이다.

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