자연계열 3번

(3-1) $\displaystyle d(x)m(x)=c$라 두면, $\displaystyle d(x)=\sqrt{x^2+y^2}$이고 $\displaystyle m(x)=\frac yx$이므로 $\displaystyle x^2y^2+y^4=c^2x^2$을 얻는다.

따라서 $\displaystyle x=\frac{y^2}{\sqrt{c^2-y^2}}$이고, $\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{y^3+2y(c^2-y^2)}{\sqrt{(c^2-y^2)^3}}$이다.(나)에서 $\displaystyle y=1$에서 $\displaystyle \frac{dx}{dy}=3$이므로 $\displaystyle 2c^2-1=3(c^2-1)\sqrt{c^2-1}$이다.

이 식의 양변을 제곱한 후 정리하면 $\displaystyle (c^2-2)(9c^4-13c^2+5)=0$이다. 그런데 항상 $\displaystyle 9c^4-13c^2+5>0$이므로 $\displaystyle c=d(x)m(x)=\sqrt2$를 얻는다.

(3-2) 풀이 (3-1)로부터 $\displaystyle x^2f(x)^2+f(x)^4=2x^2$이다.$\displaystyle a>0$이고 $\displaystyle f(a)=1$이므로, $\displaystyle a^2+1=2a^2$, 즉, $\displaystyle a=1$이다.

$\displaystyle x=\frac1{\sqrt6}$일 때 $\displaystyle \frac16f\left(\frac1{\sqrt6}\right)^2+f\left(\frac1{\sqrt6}\right)^4=\frac13$이므로, $\displaystyle f\left(\frac1{\sqrt6}\right)=\frac1{\sqrt2}$이다.

접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(a)=f\prime(a)(x-a)$이므로 $\displaystyle x-3y+2=0$이다.

이 접선과 점 $\displaystyle \left(\frac1{\sqrt6},f\left(\frac1{\sqrt6}\right)\right)=\left(\frac1{\sqrt6},\frac1{\sqrt2}\right)$ 사이의 거리는$\displaystyle \frac{\left|\frac1{\sqrt6}-3\frac1{\sqrt2}+2\right|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\frac1{30}|6\sqrt{10}+\sqrt{15}-9\sqrt5|=\frac1{30}(6\sqrt{10}+\sqrt{15}-9\sqrt5)$이다.

(3-3) (3-2)의 풀이에서 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 두 점 $\displaystyle \left(\frac1{\sqrt6},\frac1{\sqrt2}\right)$과 $\displaystyle (1,1)$을 지난다는 것을 알고 있다. 적분을 풀기 위해 $\displaystyle y=f(x)$로 치환하자.

이 때, 위의 풀이에서 $\displaystyle x^2=\frac{y^4}{2-y^2}$임을 알고 있고 $\displaystyle f\prime(x)dx=dy$이므로$\displaystyle \int_{1/\sqrt6}^1\frac{x^2}{f(x)^3}f\prime(x)dx=\int_{1/\sqrt2}^1\frac y{2-y^2}dy=\frac12\ln\frac32$이다.