자연계열 1번

(1-1) 선분 $\displaystyle OP$의 길이를 $\displaystyle r$이라 하고, $\displaystyle P$점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle r\cos\theta$, $\displaystyle y$좌표를 $\displaystyle r\sin\theta$라 두자.

선분 $\displaystyle AB$의 방정식이 $\displaystyle x+2y=2$이므로 $\displaystyle r=\frac2{\cos\theta+2\sin\theta}$를 얻는다.

따라서 $\displaystyle S=\frac12\times2\times r\sin\theta=\frac{2\sin\theta}{\cos\theta+2\sin\theta}$이다.

(1-2) 항상 $\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=\frac2{(\cos\theta+2\sin\theta)^2}>0$이다.

따라서 $\displaystyle S=S(\theta):(0,\frac\pi2]\to(0,1]$는 $\displaystyle \theta$에 대하여 항상 증가하는 일대일 대응이고 역함수가 존재한다.

(1-3) $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{d\theta}{dS}\frac{dS}{dt}=c\frac1{dS/d\theta}=\frac{c(\cos\theta+2\sin\theta)^2}2$이다.

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt}$가 최대가 되기 위해서는$\displaystyle \frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac d{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)=\frac d{d\theta}\left(\frac{c(\cos\theta+2\sin\theta)^2}2\right)\frac{d\theta}{dt}=\frac{c^2}2(\cos\theta+2\sin\theta)^3(-\sin\theta+2\cos\theta)=0$이다.

그런데 $\displaystyle 0<\theta\le\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \cos\theta+2\sin\theta>0$이다. 따라서 $\displaystyle \sin\theta=2\cos\theta$이고 $\displaystyle \cos\theta=\frac1{\sqrt5}$, $\displaystyle \sin\theta=\frac2{\sqrt5}$를 얻는다.

따라서 $\displaystyle r=\frac2{\cos\theta+2\sin\theta}=\frac2{\sqrt5}$이고, $\displaystyle x=r\cos\theta=\frac25$, $\displaystyle y=r\sin\theta=\frac45$이다.