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자연계열 1번

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세종대 2021학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2021mo/jayeon_1

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문제

[문제 1] 점 P(x,y)\displaystyle P(x,y)가 점 A(2,0)\displaystyle A(2,0)에서 출발하여 선분 AB\displaystyle AB를 따라 점 B(0,1)\displaystyle B(0,1)로 움직이고 있다. 삼각형 △OPA\displaystyle \triangle OPA의 넓이를 S\displaystyle S라 할 때, 시간 t\displaystyle t에 대한 S\displaystyle S의 변화율 dSdt=c\displaystyle \frac{dS}{dt}=c는 양의 상수이다.

선분 AB를 따라 움직이는 점 P와 삼각형 OPA

(1-1) ∠POA=θ\displaystyle \angle POA=\theta일 때, S\displaystyle S를 θ\displaystyle \theta에 대한 함수로 나타내시오. (70점)

(1-2) (1-1)에서 구한 함수의 역함수가 존재함을 설명하시오. (80점)

(1-3) 시간 t\displaystyle t에 대한 θ\displaystyle \theta의 변화율 dθdt\displaystyle \frac{d\theta}{dt}가 최대가 되는 점 P\displaystyle P의 좌표 (x,y)\displaystyle (x,y)를 구하시오. (80점)

해설강의 준비중

세종대 2021학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2021mo/jayeon_1

+10점 · x\displaystyle x좌표를 rcos⁡θ\displaystyle r\cos\theta, y\displaystyle y좌표를 rsin⁡θ\displaystyle r\sin\theta라 두면

(1-1) 선분 OP\displaystyle OP의 길이를 r\displaystyle r이라 하고, P\displaystyle P점의 x\displaystyle x좌표를 rcos⁡θ\displaystyle r\cos\theta, y\displaystyle y좌표를 rsin⁡θ\displaystyle r\sin\theta라 두자.

+30점 · r=2cos⁡θ+2sin⁡θ\displaystyle r=\frac2{\cos\theta+2\sin\theta}를 얻으면

선분 AB\displaystyle AB의 방정식이 x+2y=2\displaystyle x+2y=2이므로 r=2cos⁡θ+2sin⁡θ\displaystyle r=\frac2{\cos\theta+2\sin\theta}를 얻는다.

70점 · S=2sin⁡θcos⁡θ+2sin⁡θ\displaystyle S=\frac{2\sin\theta}{\cos\theta+2\sin\theta}를 구하면

따라서 S=12×2×rsin⁡θ=2sin⁡θcos⁡θ+2sin⁡θ\displaystyle S=\frac12\times2\times r\sin\theta=\frac{2\sin\theta}{\cos\theta+2\sin\theta}이다.

60점 · dSdθ=2(cos⁡θ+2sin⁡θ)2>0\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=\frac2{(\cos\theta+2\sin\theta)^2}>0임을 보이면

(1-2) 항상 dSdθ=2(cos⁡θ+2sin⁡θ)2>0\displaystyle \frac{dS}{d\theta}=\frac2{(\cos\theta+2\sin\theta)^2}>0이다.

80점 · S=S(θ)\displaystyle S=S(\theta)가 역함수가 존재함을 언급하면

따라서 S=S(θ):(0,π2]→(0,1]\displaystyle S=S(\theta):(0,\frac\pi2]\to(0,1]는 θ\displaystyle \theta에 대하여 항상 증가하는 일대일 대응이고 역함수가 존재한다.

20점 · dθdt=c(cos⁡θ+2sin⁡θ)22\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{c(\cos\theta+2\sin\theta)^2}2를 구하면

(1-3) dθdt=dθdSdSdt=c1dS/dθ=c(cos⁡θ+2sin⁡θ)22\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{d\theta}{dS}\frac{dS}{dt}=c\frac1{dS/d\theta}=\frac{c(\cos\theta+2\sin\theta)^2}2이다.

50점 · d2θdt2=c22(cos⁡θ+2sin⁡θ)3(−sin⁡θ+2cos⁡θ)\displaystyle \frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac{c^2}2(\cos\theta+2\sin\theta)^3(-\sin\theta+2\cos\theta)를 구하면

dθdt\displaystyle \frac{d\theta}{dt}가 최대가 되기 위해서는d2θdt2=ddt(dθdt)=ddθ(c(cos⁡θ+2sin⁡θ)22)dθdt=c22(cos⁡θ+2sin⁡θ)3(−sin⁡θ+2cos⁡θ)=0\displaystyle \frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac d{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)=\frac d{d\theta}\left(\frac{c(\cos\theta+2\sin\theta)^2}2\right)\frac{d\theta}{dt}=\frac{c^2}2(\cos\theta+2\sin\theta)^3(-\sin\theta+2\cos\theta)=0이다.

60점 · dθdt\displaystyle \frac{d\theta}{dt}가 최대가 되는 조건 sin⁡θ=2cos⁡θ\displaystyle \sin\theta=2\cos\theta를 구하면

그런데 0<θ≤π2\displaystyle 0<\theta\le\frac\pi2이므로 cos⁡θ+2sin⁡θ>0\displaystyle \cos\theta+2\sin\theta>0이다. 따라서 sin⁡θ=2cos⁡θ\displaystyle \sin\theta=2\cos\theta이고 cos⁡θ=15\displaystyle \cos\theta=\frac1{\sqrt5}, sin⁡θ=25\displaystyle \sin\theta=\frac2{\sqrt5}를 얻는다.

80점 · 답: x=25\displaystyle x=\frac25, y=45\displaystyle y=\frac45를 구하면

따라서 r=2cos⁡θ+2sin⁡θ=25\displaystyle r=\frac2{\cos\theta+2\sin\theta}=\frac2{\sqrt5}이고, x=rcos⁡θ=25\displaystyle x=r\cos\theta=\frac25, y=rsin⁡θ=45\displaystyle y=r\sin\theta=\frac45이다.

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