자연계열 3번

(3-1) 함수 $\displaystyle f$는 상수함수가 아니고, $\displaystyle f(0)=f(1)=0$, $\displaystyle |f(x)|\ge0$이므로 $\displaystyle |f(x)|$가 최댓값이 되는 $\displaystyle x=a$는 열린 구간 $\displaystyle (0,1)$에 속하고, $\displaystyle f(a)\ne0$이다.

$\displaystyle g(x)=|x|$라 하면 $\displaystyle g$는 $\displaystyle x\ne0$일 때, 미분 가능하며 $\displaystyle g\prime(x)=\pm1$이다. 따라서, $\displaystyle k(x)=g\circ f(x)=|f(x)|$라 하면, $\displaystyle f(a)\ne0$이므로 $\displaystyle k(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 미분 가능하고, 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle k(x)$의 최댓값이 $\displaystyle |f(a)|$이므로, $\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{k(a+h)-k(a)}h\le0$이고 $\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{k(a+h)-k(a)}h\ge0$이고 따라서 $\displaystyle k\prime(a)=0$이다.

이제, 합성함수의 미분법을 이용하면 $\displaystyle 0=k\prime(a)=g\prime((f(a))f\prime(a)=\pm f\prime(a)$이고, 이로부터 $\displaystyle f\prime(a)=0$이 된다.Correction. 합성함수의 미분법을 적용한 식에서 $\displaystyle g\prime((f(a))$의 여는 괄호가 하나 중복되어 있다. $\displaystyle g\prime(f(a))$로 읽으면 뒤의 전개와 일치한다. 원문 표기는 그대로 실었다.

(3-2) $\displaystyle 0\le a\le\frac12$인 경우, $\displaystyle f\prime(a)=0$임을 이용하면$\displaystyle f(a)=\int_0^a f\prime(x)dx=\Biggl[xf\prime(x)\Biggr]_0^a-\int_0^a xf\prime\prime(x)dx=-\int_0^a xf\prime\prime(x)dx$이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle |f(a)|=\left|\int_0^a xf\prime\prime(x)dx\right|\le\int_0^a x|f\prime\prime(x)|dx\le M\int_0^a xdx=\frac M2a^2$또, $\displaystyle 0\le a\le\frac12$이므로 $\displaystyle |f(a)|\le\frac M8$이 성립한다.

$\displaystyle \frac12\le a\le1$인 경우, $\displaystyle f\prime(a)=0$임을 이용하면$\displaystyle f(a)=-\int_a^1 f\prime(x)dx=\Biggl[(1-x)f\prime(x)\Biggr]_a^1-\int_a^1(1-x)f\prime\prime(x)dx=-\int_a^1(1-x)f\prime\prime(x)dx$이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle |f(a)|=\left|\int_a^1(1-x)f\prime\prime(x)dx\right|\le\int_a^1(1-x)|f\prime\prime(x)|dx\le M\int_a^1(1-x)dx=\frac M2(1-a)^2$또, $\displaystyle \frac12\le a\le1$이므로 $\displaystyle 0\le1-a\le\frac12$이고, $\displaystyle |f(a)|\le\frac M8$이 성립한다.

(3-3) 임의의 양의 실수 $\displaystyle M$에 대해 $\displaystyle f(x)=\frac M2x(1-x)$라 두면, $\displaystyle f(0)=f(1)=0$이고 $\displaystyle f\prime\prime(x)=-M$이므로, $\displaystyle f$는 문제의 조건을 만족시키는 함수가 된다. 이때, $\displaystyle 0\le x\le1$에서 함수 $\displaystyle |f(x)|$의 최댓값은 $\displaystyle x=\frac12$일 때 $\displaystyle \frac M8$이 되어 (3-2)에서 등호가 성립하는 예가 된다.