자연계열 2번

(2-1) 확률변수 $\displaystyle X$를 게임이 끝날 때까지 동전을 던진 횟수라고 하자. 그러면 $\displaystyle X$의 가능한 값은 $\displaystyle 4,5,6,7$이 된다.

게임이 $\displaystyle x$번째에 끝나려면 동전을 던졌을 때 $\displaystyle x$번째에 네 번째 앞면이나 네 번째 뒷면이 나와야 하므로 $\displaystyle P(X=x)=2\times\frac1{2^x}\times{}_{x-1}C_3$이다.

그러므로 확률분포표는 아래와 같고 $\displaystyle X$의 기댓값은 $\displaystyle E(X)=\sum_{x=4}^7xP(X=x)=\frac{93}{16}$이다.

(2-2) 승자가 나올 때까지 게임이 지속한다고 가정하면, 2번~4번 ($\displaystyle 4=2+3-1$) 만에 승자가 결정된다. 이 중 A가 승자가 될 확률은 3번 연속으로 이기는 확률 $\displaystyle \frac1{2^3}$과 4번 만에 승리할 확률 $\displaystyle \frac3{2^4}$의 합이므로 A가 이길 확률은 $\displaystyle \frac5{2^4}$이고,

받을 상금은 $\displaystyle 10000\times\frac5{2^4}=3125$원이다.

(2-3) 승자가 나올 때까지 게임이 지속한다고 가정하면, 최대 $\displaystyle n+2$번 시행 후에 승자가 결정된다. 이 중 A가 승자가 될 확률은 $\displaystyle n$번 연속으로 이기는 확률 $\displaystyle \frac1{2^n}$, $\displaystyle (n+1)$번 만에 승리할 확률 $\displaystyle \frac{{}_nC_1}{2^{n+1}}$, $\displaystyle (n+2)$번 만에 승리할 확률 $\displaystyle \frac{{}_{n+1}C_2}{2^{n+2}}$를 모두 더하여 얻는다. 따라서 A가 이길 확률은 $\displaystyle \frac{8+4n+n(n+1)}{2^{n+3}}$이고,

상금의 기댓값에서 비용을 제외한 수익은$\displaystyle \left(\frac{8+4n+n(n+1)}{2^{n+3}}\times2^n\times10000\right)-5000(n-3)^2=1250(-3n^2+29n-28)$이다.

이제, $\displaystyle f(x)=-3x^2+29x-28$이라 하면 $\displaystyle f\prime(x)=29-6x$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle \frac{29}6$에서 최댓값을 가지고 $\displaystyle x=\frac{29}6$에서 대칭인 이차함수이다. 따라서 정수 $\displaystyle n\ge3$일 때, $\displaystyle f(n)$의 최댓값은 $\displaystyle n=5$일 때이며, A는 $\displaystyle 5000\times4$원을 지불하고 $\displaystyle -5$점을 선택할 때 기대하는 수익금이 최대가 된다.