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자연계열 1번

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세종대 2022학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2022mo/jayeon_1

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문제

[문제 1] 그림과 같이 좌표평면에 중심이 (0,2)\displaystyle (0,\sqrt2)이고 반지름의 길이가 1인 원 C\displaystyle C가 있다. 점 P(a,0)\displaystyle \mathrm{P}(a,0)을 지나고 원 위의 점 T1\displaystyle \mathrm{T}_1, T2\displaystyle \mathrm{T}_2에서 각각 접하는 두 직선에 대하여 ∠T1PT2=θ\displaystyle \angle\mathrm{T}_1\mathrm{P}\mathrm{T}_2=\theta라 하자. (단, 0<a<1\displaystyle 0<a<1)

원 C와 점 P에서 그은 두 접선

(1-1) 직선 PT1\displaystyle \mathrm{PT}_1의 기울기 m1\displaystyle m_1과 직선 PT2\displaystyle \mathrm{PT}_2의 기울기 m2\displaystyle m_2를 각각 a\displaystyle a에 대한 식으로 나타내시오. (70점)

(1-2) tan⁡θ\displaystyle \tan\theta를 a\displaystyle a에 대한 식으로 나타내시오. (80점)

(1-3) cos⁡θ\displaystyle \cos\theta를 a\displaystyle a에 대한 식으로 나타낸 것을 f(a)\displaystyle f(a)라 할 때 극한 lim⁡a→0+f(a)a2\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{f(a)}{a^2}를 구하시오. (80점)

해설강의 준비중

세종대 2022학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2022mo/jayeon_1

30점 · 연립한 식을 g(x)\displaystyle g(x) 형태의 x\displaystyle x에 대한 2차식으로 정리하면

(1-1) 원 C\displaystyle C의 방정식은 x2+y2−22y+1=0\displaystyle x^2+y^2-2\sqrt2y+1=0이다. 접선의 방정식을 y=m(x−a)\displaystyle y=m(x-a)라 두면 C\displaystyle C의 방정식과 연립하여x2+m2(x−a)2−22m(x−a)+1=0\displaystyle x^2+m^2(x-a)^2-2\sqrt2m(x-a)+1=0을 얻는다. g(x)=(1+m2)x2+(−22m−2am2)x+1+22am+a2m2\displaystyle g(x)=(1+m^2)x^2+(-2\sqrt2m-2am^2)x+1+2\sqrt2am+a^2m^2라 두고, 이차방정식 g(x)=0\displaystyle g(x)=0의 판별식을 D\displaystyle D라 할 때

50점 · 판별식 D=0\displaystyle D=0(또는 D/4=0\displaystyle D/4=0)을 얻으면

D/4=(1−a2)m2−22am−1=0\displaystyle D/4=(1-a^2)m^2-2\sqrt2am-1=0

70점 · m1\displaystyle m_1과 m2\displaystyle m_2를 얻으면

으로부터 m1=2a−1+a21−a2\displaystyle m_1=\frac{\sqrt2a-\sqrt{1+a^2}}{1-a^2}, m2=2a+1+a21−a2\displaystyle m_2=\frac{\sqrt2a+\sqrt{1+a^2}}{1-a^2}을 얻는다.

40점 · 탄젠트 함수의 덧셈정리를 알고 있으면
80점 · tan⁡θ=21+a2a2\displaystyle \tan\theta=\frac{2\sqrt{1+a^2}}{a^2}를 얻으면

(1-2) 두 접선 중에서 기울기가 m1\displaystyle m_1, m2\displaystyle m_2인 것을 각각 ℓ1\displaystyle \ell_1, ℓ2\displaystyle \ell_2라 하자. 또한 θ1\displaystyle \theta_1과 θ2\displaystyle \theta_2를 각각 ℓ1\displaystyle \ell_1, ℓ2\displaystyle \ell_2가 양의 x\displaystyle x축과 이루는 각이라 하면 다음이 성립한다.tan⁡θ=tan⁡(θ1−θ2)=tan⁡θ1−tan⁡θ21+tan⁡θ1tan⁡θ2=m1−m21+m1m2=21+a2a2\displaystyle \tan\theta=\tan(\theta_1-\theta_2)=\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}=\frac{2\sqrt{1+a^2}}{a^2}

+20점 · cos⁡θ>0\displaystyle \cos\theta>0임을 언급하면

(1-3) tan⁡θ>0\displaystyle \tan\theta>0이므로 0<θ<π2\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2이고 cos⁡θ>0\displaystyle \cos\theta>0이다.

+40점 · cos⁡θ=a2a2+2\displaystyle \cos\theta=\frac{a^2}{a^2+2}을 구하면

그림과 같이 tan⁡θ=2a2+1a2\displaystyle \tan\theta=\frac{2\sqrt{a^2+1}}{a^2}인 직각삼각형을 생각하면 빗변의 길이가 a4+4a2+4=a2+2\displaystyle \sqrt{a^4+4a^2+4}=a^2+2이므로 cos⁡θ=a2a2+2\displaystyle \cos\theta=\frac{a^2}{a^2+2}이다.

탄젠트와 코사인을 나타내는 직각삼각형

그림을 그리지 않고 (a2+2)2a4=1+tan⁡2θ=sec⁡2θ=1cos⁡2θ\displaystyle \frac{(a^2+2)^2}{a^4}=1+\tan^2\theta=\sec^2\theta=\frac1{\cos^2\theta}임을 이용하여 cos⁡θ=a2a2+2\displaystyle \cos\theta=\frac{a^2}{a^2+2}을 구할 수도 있다.

+20점 · cos⁡θa2\displaystyle \frac{\cos\theta}{a^2}의 극한이 12\displaystyle \frac12임을 구하면

그러므로 다음을 얻는다.lim⁡a→0+cos⁡θa2=lim⁡a→0+1a2+2=12\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{\cos\theta}{a^2}=\lim_{a\to0^+}\frac1{a^2+2}=\frac12

(1-1) m1\displaystyle m_1과 m2\displaystyle m_2를 바꾸어 적으면 (60점만)

(1-2) tan⁡(θ2−θ1)\displaystyle \tan(\theta_2-\theta_1)를 대신 계산하여 −21+a2a2\displaystyle -\frac{2\sqrt{1+a^2}}{a^2}을 얻은 경우 (60점)

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