자연계열 1번

(1-1) 원 $\displaystyle C$의 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2-2\sqrt2y+1=0$이다. 접선의 방정식을 $\displaystyle y=m(x-a)$라 두면 $\displaystyle C$의 방정식과 연립하여$\displaystyle x^2+m^2(x-a)^2-2\sqrt2m(x-a)+1=0$을 얻는다. $\displaystyle g(x)=(1+m^2)x^2+(-2\sqrt2m-2am^2)x+1+2\sqrt2am+a^2m^2$라 두고, 이차방정식 $\displaystyle g(x)=0$의 판별식을 $\displaystyle D$라 할 때

$\displaystyle D/4=(1-a^2)m^2-2\sqrt2am-1=0$

으로부터 $\displaystyle m_1=\frac{\sqrt2a-\sqrt{1+a^2}}{1-a^2}$, $\displaystyle m_2=\frac{\sqrt2a+\sqrt{1+a^2}}{1-a^2}$을 얻는다.

(1-2) 두 접선 중에서 기울기가 $\displaystyle m_1$, $\displaystyle m_2$인 것을 각각 $\displaystyle \ell_1$, $\displaystyle \ell_2$라 하자. 또한 $\displaystyle \theta_1$과 $\displaystyle \theta_2$를 각각 $\displaystyle \ell_1$, $\displaystyle \ell_2$가 양의 $\displaystyle x$축과 이루는 각이라 하면 다음이 성립한다.$\displaystyle \tan\theta=\tan(\theta_1-\theta_2)=\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}=\frac{2\sqrt{1+a^2}}{a^2}$

(1-3) $\displaystyle \tan\theta>0$이므로 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$이고 $\displaystyle \cos\theta>0$이다.

그림과 같이 $\displaystyle \tan\theta=\frac{2\sqrt{a^2+1}}{a^2}$인 직각삼각형을 생각하면 빗변의 길이가 $\displaystyle \sqrt{a^4+4a^2+4}=a^2+2$이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac{a^2}{a^2+2}$이다.

그러므로 다음을 얻는다.$\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{\cos\theta}{a^2}=\lim_{a\to0^+}\frac1{a^2+2}=\frac12$