자연계열 3번

(3-2) 고정된 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle h(u)=\int_t^uf(x)dx$라 정의하면(i) $\displaystyle h(t)=\int_t^tf(x)dx=0$이고

(ii) $\displaystyle |x|>1$일 때, $\displaystyle 2x^4\ge x^2+1$이므로 $\displaystyle f(x)\ge1$이다.$\displaystyle |x|\le1$일 때, $\displaystyle \frac\pi2\cos\frac\pi2x\ge0$이므로 $\displaystyle f(x)\ge1$이다.따라서 $\displaystyle h(t+2)=\int_t^{t+2}f(x)dx\ge\int_t^{t+2}1dx=2$이다.

함수 $\displaystyle h(u)$는 구간 $\displaystyle [t,t+2]$에서 연속이므로

사잇값 정리에 의해 $\displaystyle h(c)=\int_t^cf(x)dx=2$를 만족시키는 $\displaystyle c$가 구간 $\displaystyle [t,t+2]$에 존재한다. 즉, $\displaystyle t\le g(t)\le t+2$이다.

(3-3) 3-2에 의해 $\displaystyle t>0$일 때 $\displaystyle 1\le\frac{g(t)}t\le1+\frac2t$가 성립한다. $\displaystyle t\to\infty$일 때의 극한을 생각하면 수열의 극한의 대소 관계에 의해 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{g(t)}t=1$을 얻는다.

$\displaystyle \int_t^{g(t)}f(x)dx=2$이므로 $\displaystyle t>1$일 때 양변을 미분하면 $\displaystyle g'(t)\frac{2\{g(t)\}^4}{1+\{g(t)\}^2}-\frac{2t^4}{1+t^2}=0$이 된다.

이것을 $\displaystyle g'(t)$에 대하여 풀면 $\displaystyle g'(t)=\{\frac t{g(t)}\}^4\frac{1+\{g(t)\}^2}{1+t^2}=\left\{\frac1{\frac{g(t)}t}\right\}^4\frac{\frac1{t^2}+\{\frac{g(t)}t\}^2}{\frac1{t^2}+1}$이다.

따라서 위의 결과를 이용하여 $\displaystyle t\to\infty$일 때의 극한을 계산하면 다음을 얻는다.$\displaystyle \lim_{t\to\infty}g'(t)=1$