자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle x<0$일 때 $\displaystyle f(x)=x+k$를 주어진 식에 대입하면 다음 항등식을 얻는다.$\displaystyle x+k=f(x)=\int_0^x\sqrt{k-2}\,dt+x+2=(\sqrt{k-2}+1)x+2\ (x<0)$

이 식을 만족시키는 상수 $\displaystyle k$를 구하면 $\displaystyle k=2$이다.

(2-2) 조건 (가)를 이용하면 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f'(x)=\sqrt{f(x)-x-2}+1\qquad\cdots\cdots(3)$$\displaystyle f'(x)-1=\sqrt{f(x)-x-2}$

이고, 조건 (나)에 의해 모든 실수 $\displaystyle x>2$에 대하여, $\displaystyle f(x)>x+2$이므로$\displaystyle \frac{f'(x)-1}{\sqrt{f(x)-x-2}}=1\ (x>2)$이다. $\displaystyle t=f(x)-x-2$라 두고 치환적분법을 이용하여 계산하면$\displaystyle \int\frac{f'(x)-1}{\sqrt{f(x)-x-2}}dx=\int\frac{dt}{\sqrt t}=2\sqrt t=2\sqrt{f(x)-x-2}=x+C\ (x>2)$

이다. $\displaystyle f(4)=7$임을 이용하면 $\displaystyle C=-2$이고, 양변을 제곱하여 계산하면 $\displaystyle f(x)=\frac14(x-2)^2+x+2=\frac14x^2+3$ ($\displaystyle x>2$)이다.

(2-3) 2-1, 2-2의 계산 결과와 함수 $\displaystyle f$의 연속성에 의해 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x+2&(x\le0)\\\frac14x^2+3&(x\ge2)\end{cases}$이므로 $\displaystyle f(0)=2$이고 $\displaystyle f(2)=4$이다.

또한 식 (3)으로부터 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f'(x)\ge1$이다. $\displaystyle \cdots(4)$만일 $\displaystyle 0<x_0<2$이고 $\displaystyle f(x_0)>x_0+2$인 $\displaystyle x_0$이 존재하면 평균값 정리에 의해 $\displaystyle f'(c)=\frac{f(2)-f(x_0)}{2-x_0}=\frac{4-f(x_0)}{2-x_0}$인 $\displaystyle c$가 $\displaystyle x_0$과 2 사이에 존재하게 되는데 $\displaystyle \frac{4-f(x_0)}{2-x_0}<\frac{4-(x_0+2)}{2-x_0}=\frac{2-x_0}{2-x_0}=1$이므로 $\displaystyle f'(c)<1$이어야 한다. 이는 식 (4)에 모순이다. 그러므로 $\displaystyle 0<x<2$일 때 $\displaystyle f(x)\le x+2$이다. 따라서 식 (1)에 의해 $\displaystyle f(x)=x+2\ (0<x<2)$이다.

결국 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x+2&(x\le2)\\\frac14x^2+3&(x\ge2)\end{cases}$이고 $\displaystyle f(x)$는 문제의 모든 조건을 만족시킨다. 그러므로 $\displaystyle f(1)=3$이다.