자연계열 1번

(i) $\displaystyle a_4\le80$인 경우:$\displaystyle a_5=2a_3$에서 $\displaystyle a_3=2\le80$이므로 $\displaystyle a_4=2a_2$이고, $\displaystyle a_2=\frac{a_4}2\le\frac{80}2\le40$이다.

(ii) $\displaystyle a_4>80$인 경우:$\displaystyle a_5=a_4-80$에서 $\displaystyle a_4=84$이다. 만일 $\displaystyle a_3\le80$이면 $\displaystyle a_4=2a_2$에서 $\displaystyle a_2=42$이다.

반대로 $\displaystyle a_3>80$이면 $\displaystyle a_4=a_3-80$에서 $\displaystyle a_3=a_4+80=164$이다. 만일 $\displaystyle a_2>80$이면 $\displaystyle a_3=a_2-80$에서 $\displaystyle a_2=a_3+80=244$인데 이는 (가) 조건 $\displaystyle a_2<200$을 만족시키지 않는다. 따라서 $\displaystyle a_2\le80$이다.

이 경우 $\displaystyle a_2$는 80 이하의 모든 자연수를 값으로 가질 수 있고, $\displaystyle a_1=\frac{a_3}2=82$이다. 실제로 $\displaystyle a_1=82$, $\displaystyle a_2=80$, $\displaystyle a_3=164$, $\displaystyle a_4=84$, $\displaystyle a_5=4$이면 문제의 주어진 조건을 모두 만족시키는 것을 확인할 수 있다. 따라서 $\displaystyle a_2$의 최댓값은 80이다.

(1-2) (1-1)에서 $\displaystyle a_2\le80$이므로 $\displaystyle a_3=2a_1$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle a_1=\frac{a_3}2$이다. (1-1)의 풀이 과정에서 $\displaystyle a_3$이 가질 수 있는 값은 80 이하의 짝수 또는 164이다. 이를 종합하면 다음과 같은 표를 만들 수 있고, 이때 $\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_5$가 문제의 조건을 모두 만족시킴을 확인할 수 있다.

즉, $\displaystyle a_1$의 값은 40 이하의 자연수 또는 82가 될 수 있으므로, $\displaystyle a_1$이 가질 수 있는 서로 다른 모든 수의 합은 다음과 같다.$\displaystyle \sum_{k=1}^{40}k+82=\frac{40\cdot41}2+82=820+82=902$

(i) $\displaystyle a_4\le40$인 경우:$\displaystyle a_6\le80$이므로 $\displaystyle a_7=2a_5=8$이다. 따라서 $\displaystyle a_8=2a_6=4a_4$인데, (1-2)의 풀이에서 $\displaystyle a_4$가 짝수이므로 $\displaystyle a_8$은 8의 배수이다. 만일 $\displaystyle a_4\le20$이면 $\displaystyle a_8\le80$이 되어 $\displaystyle a_9=2a_7=16$이다. 한편 $\displaystyle 20<a_4\le40$이면 $\displaystyle a_8>80$이고, (1-3)에서 주어진 조건 $\displaystyle a_8\le90$을 생각하면 $\displaystyle a_8=88$이다. 이때 $\displaystyle a_9=a_8-80=8$이다.

(iii) $\displaystyle a_4>80$인 경우:(1-1)의 풀이에서 $\displaystyle a_4=84$이고, $\displaystyle a_6=2a_4=168>80$이므로 $\displaystyle a_7=a_6-80=88>80$, $\displaystyle a_8=a_7-80=8\le80$이다. 따라서 $\displaystyle a_9=2a_7=176$이다.

따라서 $\displaystyle a_9$가 가질 수 있는 서로 다른 모든 수의 합은 다음과 같다.$\displaystyle 16+8+176=200$