자연계열 2번

(2-1) 음함수의 미분법에 의하여 식 $\displaystyle e^{x+y}+y-x=0$의 양변을 미분하면 $\displaystyle e^{x+y}(1+y')+y'-1=0$이고, 이를 정리하면 $\displaystyle y'=\frac{1-e^{x+y}}{1+e^{x+y}}$이다.

이 식에 $\displaystyle x=\frac12,\ y=-\frac12$을 대입하면 접선의 기울기는 0이다.

(2-2) $\displaystyle y'=\frac{1-e^{x+y}}{1+e^{x+y}}$이고 식 $\displaystyle e^{x+y}+y-x=0$으로부터 $\displaystyle y'=\frac{1-e^{x+y}}{1+e^{x+y}}=\frac{1-x+y}{1+x-y}$가 된다. 이로부터 $\displaystyle y''=\frac{2(y'-1)}{(1+x-y)^2}$을 얻는다.

또한 $\displaystyle y'-1=\frac{-2e^{x+y}}{1+e^{x+y}}<0$이므로 $\displaystyle y'<1$이고 $\displaystyle y''=\frac{2(y'-1)}{(1+x-y)^2}<0$이다. 따라서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 실수 전체의 집합에서 위로 볼록하다.

(2-3) 곡선 $\displaystyle y=f(x)$위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(a,b)$에서의 기울기가 $\displaystyle \frac12$인 접선을 $\displaystyle \ell$이라 할 때, $\displaystyle y'=\frac{1-e^{a+b}}{1+e^{a+b}}=\frac12$로부터 $\displaystyle a+b=-\ln3$이 되고, $\displaystyle e^{a+b}+b-a=0$으로부터 $\displaystyle a-b=\frac13$을 얻는다. 이 두 식을 연립하면, $\displaystyle a=\frac12(\frac13-\ln3)$, $\displaystyle b=-\frac12(\frac13+\ln3)$이다.

직선 $\displaystyle \ell$의 $\displaystyle y$절편은$\displaystyle -\frac a2+b=-\frac14-\frac14\ln3<-\frac14-\frac14<-\frac12$이 된다.

곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 위로 볼록하여 접선 $\displaystyle \ell$의 오른쪽에 위치하고, 또한 $\displaystyle \ell$의 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle -\frac12$보다 작으므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 직선 $\displaystyle y=\frac x2-\frac12$과 만나지 않는다. 직선 $\displaystyle y=\frac x2-\frac12$과 접선 $\displaystyle \ell$은 평행하고 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 직선 $\displaystyle \ell$의 오른쪽에 위치하므로 직선 $\displaystyle y=\frac x2-\frac12$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 사이의 거리가 최소가 되는 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle (\frac12(\frac13-\ln3),-\frac12(\frac13+\ln3))$이다.